MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0cmn Structured version   Unicode version

Theorem xrge0cmn 17966
Description: The nonnegative extended real numbers are a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrge0cmn  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd

Proof of Theorem xrge0cmn
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )  =  (
RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
21xrs1cmn 17964 . 2  |-  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )  e. CMnd
31xrge0subm 17965 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  e.  (SubMnd `  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) ) )
4 xrex 11091 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
5 difss 3583 . . . . . . 7  |-  ( RR*  \  { -oo } ) 
C_  RR*
64, 5ssexi 4537 . . . . . 6  |-  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V
7 xrsbas 17943 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
81, 7ressbas2 14333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  C_  RR*  ->  ( RR*  \  { -oo }
)  =  ( Base `  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) ) ) )
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( RR*  \  { -oo } )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) ) )
109submss 15582 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] +oo )  e.  (SubMnd `  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) ) )  -> 
( 0 [,] +oo )  C_  ( RR*  \  { -oo } ) )
113, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  ( RR*  \  { -oo } )
12 ressabs 14340 . . . . . 6  |-  ( ( ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  ( RR*  \  { -oo } ) )  -> 
( ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo }
) )s  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
136, 11, 12mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (
RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )s  ( 0 [,] +oo ) )  =  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)
1413eqcomi 2464 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  ( ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )s  ( 0 [,] +oo ) )
1514submmnd 15586 . . 3  |-  ( ( 0 [,] +oo )  e.  (SubMnd `  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) ) )  -> 
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
163, 15ax-mp 5 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
1714subcmn 16427 . 2  |-  ( ( ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )  e. CMnd  /\  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )  ->  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  e. CMnd )
182, 16, 17mp2an 672 1  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    \ cdif 3425    C_ wss 3428   {csn 3977   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   0cc0 9385   +oocpnf 9518   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520   [,]cicc 11406   Basecbs 14278   ↾s cress 14279   RR*scxrs 14542   Mndcmnd 15513  SubMndcsubmnd 15567  CMndccmn 16383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-xadd 11193  df-icc 11410  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-0g 14484  df-xrs 14544  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-cmn 16385
This theorem is referenced by:  xrge0gsumle  20528  xrge0tsms  20529  xrge00  26283  xrge0omnd  26310  xrge0tsmsd  26389  xrge0slmod  26448  xrge0iifmhm  26505  xrge0tmdOLD  26511  esumcl  26622  esum0  26639  esumf1o  26640  esumsplit  26642  esumadd  26643  gsumesum  26646  esumlub  26647  esumaddf  26648  esumsn  26651  esumss  26657  esumpfinval  26660  esumpfinvalf  26661  esumcocn  26665
  Copyright terms: Public domain W3C validator