Theorem xralrple 11276

Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xralrple	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem xralrple

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpge0 11104	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
2	1	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ x )
3		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
4		rpre 11098	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
5	4	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
6	3, 5	addge01d 10028	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0 <_ x <-> B <_ ( B + x ) ) )
7	2, 6	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( B + x ) )
8		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* )
9	3	rexrd 9534	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* )
10	3, 5	readdcld 9514	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR )
11	10	rexrd 9534	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR* )
12		xrletr 11233	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( B + x ) e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + x ) ) -> A <_ ( B + x ) ) )
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + x ) ) -> A <_ ( B + x ) ) )
14	7, 13	mpan2d 674	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + x ) ) )
15	14	ralrimdva 2902	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
16		rexr 9530	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
17	16	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> B e. RR* )
18		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> A e. RR* )
19		qbtwnxr 11271	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ B < A ) -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) )
20	19	3expia 1190	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < A -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) ) )
21	17, 18, 20	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( B < A -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) ) )
22		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B < y )
23		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B e. RR )
24		qre 11059	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
25	24	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. RR )
26		difrp 11125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( B < y <-> ( y - B ) e. RR+ ) )
27	23, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( B < y <-> ( y - B ) e. RR+ ) )
28	22, 27	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( y - B ) e. RR+ )
29		simprrr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y < A )
30	25	rexrd 9534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. RR* )
31		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> A e. RR* )
32		xrltnle 9544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( y < A <-> -. A <_ y ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( y < A <-> -. A <_ y ) )
34	29, 33	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A <_ y )
35	23	recnd 9513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B e. CC )
36	25	recnd 9513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. CC )
37	35, 36	pncan3d 9823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( B + ( y - B ) ) = y )
38	37	breq2d 4402	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( A <_ ( B + ( y - B ) ) <-> A <_ y ) )
39	34, 38	mtbird 301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A <_ ( B + ( y - B ) ) )
40		oveq2 6198	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y - B ) -> ( B + x ) = ( B + ( y - B ) ) )
41	40	breq2d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - B ) -> ( A <_ ( B + x ) <-> A <_ ( B + ( y - B ) ) ) )
42	41	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - B ) -> ( -. A <_ ( B + x ) <-> -. A <_ ( B + ( y - B ) ) ) )
43	42	rspcev 3169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y - B ) e. RR+ /\ -. A <_ ( B + ( y - B ) ) ) -> E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) )
44	28, 39, 43	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) )
45		rexnal 2865	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) <-> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
46	44, 45	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
47	46	rexlimdvaa 2938	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
48	21, 47	syld 44	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
49	48	con2d 115	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) -> -. B < A ) )
50		xrlenlt 9543	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
51	16, 50	sylan2 474	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
52	49, 51	sylibrd 234	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) -> A <_ B ) )
53	15, 52	impbid 191	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   + caddc 9386   RR*cxr 9518   < clt 9519   <_ cle 9520   - cmin 9696   QQcq 11054   RR+crp 11092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093

This theorem is referenced by:  alrple  11277  ovollb2  21088  ovolun  21098  ovoliun  21104  ovolscalem2  21113  nulmbl2  21134