Theorem xralrple 11375

Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xralrple	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem xralrple

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpge0 11195	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
2	1	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ x )
3		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
4		rpre 11189	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
5	4	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
6	3, 5	addge01d 10100	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0 <_ x <-> B <_ ( B + x ) ) )
7	2, 6	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( B + x ) )
8		simpll 752	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* )
9	3	rexrd 9593	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* )
10	3, 5	readdcld 9573	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR )
11	10	rexrd 9593	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR* )
12		xrletr 11332	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( B + x ) e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + x ) ) -> A <_ ( B + x ) ) )
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1230	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + x ) ) -> A <_ ( B + x ) ) )
14	7, 13	mpan2d 672	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + x ) ) )
15	14	ralrimdva 2821	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
16		rexr 9589	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
17	16	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> B e. RR* )
18		simpl 455	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> A e. RR* )
19		qbtwnxr 11370	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ B < A ) -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) )
20	19	3expia 1199	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < A -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) ) )
21	17, 18, 20	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( B < A -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) ) )
22		simprrl 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B < y )
23		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B e. RR )
24		qre 11150	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
25	24	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. RR )
26		difrp 11218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( B < y <-> ( y - B ) e. RR+ ) )
27	23, 25, 26	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( B < y <-> ( y - B ) e. RR+ ) )
28	22, 27	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( y - B ) e. RR+ )
29		simprrr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y < A )
30	25	rexrd 9593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. RR* )
31		simpll 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> A e. RR* )
32		xrltnle 9603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( y < A <-> -. A <_ y ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( y < A <-> -. A <_ y ) )
34	29, 33	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A <_ y )
35	23	recnd 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B e. CC )
36	25	recnd 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. CC )
37	35, 36	pncan3d 9890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( B + ( y - B ) ) = y )
38	37	breq2d 4406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( A <_ ( B + ( y - B ) ) <-> A <_ y ) )
39	34, 38	mtbird 299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A <_ ( B + ( y - B ) ) )
40		oveq2 6242	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y - B ) -> ( B + x ) = ( B + ( y - B ) ) )
41	40	breq2d 4406	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - B ) -> ( A <_ ( B + x ) <-> A <_ ( B + ( y - B ) ) ) )
42	41	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - B ) -> ( -. A <_ ( B + x ) <-> -. A <_ ( B + ( y - B ) ) ) )
43	42	rspcev 3159	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y - B ) e. RR+ /\ -. A <_ ( B + ( y - B ) ) ) -> E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) )
44	28, 39, 43	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) )
45		rexnal 2851	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) <-> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
46	44, 45	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
47	46	rexlimdvaa 2896	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
48	21, 47	syld 42	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
49	48	con2d 115	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) -> -. B < A ) )
50		xrlenlt 9602	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
51	16, 50	sylan2 472	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
52	49, 51	sylibrd 234	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) -> A <_ B ) )
53	15, 52	impbid 191	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   RRcr 9441   0cc0 9442   + caddc 9445   RR*cxr 9577   < clt 9578   <_ cle 9579   - cmin 9761   QQcq 11145   RR+crp 11183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184

This theorem is referenced by:  alrple  11376  ovollb2  22084  ovolun  22094  ovoliun  22100  ovolscalem2  22109  nulmbl2  22131  omssubadd  28628