MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xralrple 11521
Description: Show that  A is less than  B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem xralrple
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 11337 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
21adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  x
)
3 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
4 rpre 11331 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
54adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
63, 5addge01d 10222 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  x 
<->  B  <_  ( B  +  x ) ) )
72, 6mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  <_  ( B  +  x )
)
8 simpll 768 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR* )
93rexrd 9708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
103, 5readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  +  x )  e.  RR )
1110rexrd 9708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  +  x )  e.  RR* )
12 xrletr 11478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( B  +  x )  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  x ) )  ->  A  <_  ( B  +  x )
) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  x
) )  ->  A  <_  ( B  +  x
) ) )
147, 13mpan2d 688 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  x )
) )
1514ralrimdva 2812 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
16 rexr 9704 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
1716adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
18 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
19 qbtwnxr 11516 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  < 
A )  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) )
20193expia 1233 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) ) )
22 simprrl 782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  <  y
)
23 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  e.  RR )
24 qre 11292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2524ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  RR )
26 difrp 11360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( B  <  y  <->  ( y  -  B )  e.  RR+ ) )
2723, 25, 26syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( B  < 
y  <->  ( y  -  B )  e.  RR+ ) )
2822, 27mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( y  -  B )  e.  RR+ )
29 simprrr 783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  <  A
)
3025rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  RR* )
31 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  A  e.  RR* )
32 xrltnle 9719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
y  <  A  <->  -.  A  <_  y ) )
3330, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( y  < 
A  <->  -.  A  <_  y ) )
3429, 33mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A  <_  y )
3523recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
3625recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  CC )
3735, 36pncan3d 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( B  +  ( y  -  B
) )  =  y )
3837breq2d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( A  <_ 
( B  +  ( y  -  B ) )  <->  A  <_  y ) )
3934, 38mtbird 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) )
40 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( B  +  x )  =  ( B  +  ( y  -  B
) ) )
4140breq2d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( A  <_  ( B  +  x )  <->  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) ) )
4241notbid 301 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( -.  A  <_  ( B  +  x )  <->  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) ) )
4342rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  -  B
)  e.  RR+  /\  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x
) )
4428, 39, 43syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x ) )
45 rexnal 2836 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x
)  <->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
)
4644, 45sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
)
4746rexlimdvaa 2872 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  QQ  ( B  <  y  /\  y  <  A )  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x ) ) )
4821, 47syld 44 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
) ) )
4948con2d 119 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
)  ->  -.  B  <  A ) )
50 xrlenlt 9717 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5116, 50sylan2 482 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5249, 51sylibrd 242 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
)  ->  A  <_  B ) )
5315, 52impbid 195 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   QQcq 11287   RR+crp 11325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326
This theorem is referenced by:  alrple  11522  ovollb2  22520  ovolun  22530  ovoliun  22536  ovolscalem2  22545  nulmbl2  22568  omssubadd  29201  omssubaddOLD  29205  xrlexaddrp  37662  xralrple2  37664  carageniuncl  38463
  Copyright terms: Public domain W3C validator