MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem xralrple 11521
Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, B
Proof of Theorem xralrple
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 11337 . . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
21adantl 473 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ x )
3 simplr 770 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
4 rpre 11331 . . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
54adantl 473 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
63, 5addge01d 10222 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0 <_ x <-> B <_ ( B + x ) ) )
72, 6mpbid 215 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( B + x ) )
8 simpll 768 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* )
93rexrd 9708 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* )
103, 5readdcld 9688 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR )
1110rexrd 9708 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR* )
12 xrletr 11478 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( B + x ) e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + x ) ) -> A <_ ( B + x ) ) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1292 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + x ) ) -> A <_ ( B + x ) ) )
147, 13mpan2d 688 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + x ) ) )
1514ralrimdva 2812 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
16 rexr 9704 . . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
1716adantl 473 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> B e. RR* )
18 simpl 464 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> A e. RR* )
19 qbtwnxr 11516 . . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ B < A ) -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) )
20193expia 1233 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < A -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( B < A -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) ) )
22 simprrl 782 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B < y )
23 simplr 770 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B e. RR )
24 qre 11292 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
2524ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. RR )
26 difrp 11360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( B < y <-> ( y - B ) e. RR+ ) )
2723, 25, 26syl2anc 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( B < y <-> ( y - B ) e. RR+ ) )
2822, 27mpbid 215 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( y - B ) e. RR+ )
29 simprrr 783 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y < A )
3025rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. RR* )
31 simpll 768 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> A e. RR* )
32 xrltnle 9719 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( y < A <-> -. A <_ y ) )
3330, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( y < A <-> -. A <_ y ) )
3429, 33mpbid 215 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A <_ y )
3523recnd 9687 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B e. CC )
3625recnd 9687 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. CC )
3735, 36pncan3d 10008 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( B + ( y - B ) ) = y )
3837breq2d 4407 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( A <_ ( B + ( y - B ) ) <-> A <_ y ) )
3934, 38mtbird 308 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A <_ ( B + ( y - B ) ) )
40 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y - B ) -> ( B + x ) = ( B + ( y - B ) ) )
4140breq2d 4407 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - B ) -> ( A <_ ( B + x ) <-> A <_ ( B + ( y - B ) ) ) )
4241notbid 301 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - B ) -> ( -. A <_ ( B + x ) <-> -. A <_ ( B + ( y - B ) ) ) )
4342rspcev 3136 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y - B ) e. RR+ /\ -. A <_ ( B + ( y - B ) ) ) -> E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) )
4428, 39, 43syl2anc 673 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) )
45 rexnal 2836 . . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) <-> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
4644, 45sylib 201 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
4746rexlimdvaa 2872 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
4821, 47syld 44 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
4948con2d 119 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) -> -. B < A ) )
50 xrlenlt 9717 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5116, 50sylan2 482 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5249, 51sylibrd 242 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) -> A <_ B ) )
5315, 52impbid 195 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   QQcq 11287   RR+crp 11325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326
This theorem is referenced by:  alrple  11522  ovollb2  22520  ovolun  22530  ovoliun  22536  ovolscalem2  22545  nulmbl2  22568  omssubadd  29201  omssubaddOLD  29205  xrlexaddrp  37662  xralrple2  37664  carageniuncl  38463
  Copyright terms: Public domain W3C validator