Theorem xralrple 11395

Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xralrple	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem xralrple

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpge0 11223	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
2	1	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ x )
3		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
4		rpre 11217	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
5	4	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
6	3, 5	addge01d 10131	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0 <_ x <-> B <_ ( B + x ) ) )
7	2, 6	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( B + x ) )
8		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* )
9	3	rexrd 9634	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* )
10	3, 5	readdcld 9614	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR )
11	10	rexrd 9634	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + x ) e. RR* )
12		xrletr 11352	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( B + x ) e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + x ) ) -> A <_ ( B + x ) ) )
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + x ) ) -> A <_ ( B + x ) ) )
14	7, 13	mpan2d 674	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + x ) ) )
15	14	ralrimdva 2877	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
16		rexr 9630	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
17	16	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> B e. RR* )
18		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> A e. RR* )
19		qbtwnxr 11390	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ B < A ) -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) )
20	19	3expia 1193	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < A -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) ) )
21	17, 18, 20	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( B < A -> E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) ) )
22		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B < y )
23		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B e. RR )
24		qre 11178	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
25	24	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. RR )
26		difrp 11244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( B < y <-> ( y - B ) e. RR+ ) )
27	23, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( B < y <-> ( y - B ) e. RR+ ) )
28	22, 27	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( y - B ) e. RR+ )
29		simprrr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y < A )
30	25	rexrd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. RR* )
31		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> A e. RR* )
32		xrltnle 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( y < A <-> -. A <_ y ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( y < A <-> -. A <_ y ) )
34	29, 33	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A <_ y )
35	23	recnd 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> B e. CC )
36	25	recnd 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> y e. CC )
37	35, 36	pncan3d 9924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( B + ( y - B ) ) = y )
38	37	breq2d 4454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> ( A <_ ( B + ( y - B ) ) <-> A <_ y ) )
39	34, 38	mtbird 301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A <_ ( B + ( y - B ) ) )
40		oveq2 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y - B ) -> ( B + x ) = ( B + ( y - B ) ) )
41	40	breq2d 4454	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - B ) -> ( A <_ ( B + x ) <-> A <_ ( B + ( y - B ) ) ) )
42	41	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y - B ) -> ( -. A <_ ( B + x ) <-> -. A <_ ( B + ( y - B ) ) ) )
43	42	rspcev 3209	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y - B ) e. RR+ /\ -. A <_ ( B + ( y - B ) ) ) -> E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) )
44	28, 39, 43	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) )
45		rexnal 2907	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR+ -. A <_ ( B + x ) <-> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
46	44, 45	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) /\ ( y e. QQ /\ ( B < y /\ y < A ) ) ) -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) )
47	46	rexlimdvaa 2951	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( E. y e. QQ ( B < y /\ y < A ) -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
48	21, 47	syld 44	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )
49	48	con2d 115	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) -> -. B < A ) )
50		xrlenlt 9643	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
51	16, 50	sylan2 474	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
52	49, 51	sylibrd 234	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) -> A <_ B ) )
53	15, 52	impbid 191	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483   + caddc 9486   RR*cxr 9618   < clt 9619   <_ cle 9620   - cmin 9796   QQcq 11173   RR+crp 11211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212

This theorem is referenced by:  alrple  11396  ovollb2  21630  ovolun  21640  ovoliun  21646  ovolscalem2  21655  nulmbl2  21677