MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Structured version   Unicode version

Theorem xralrple 11375
Description: Show that  A is less than  B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem xralrple
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 11195 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
21adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  x
)
3 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
4 rpre 11189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
54adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
63, 5addge01d 10100 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  x 
<->  B  <_  ( B  +  x ) ) )
72, 6mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  <_  ( B  +  x )
)
8 simpll 752 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR* )
93rexrd 9593 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
103, 5readdcld 9573 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  +  x )  e.  RR )
1110rexrd 9593 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  +  x )  e.  RR* )
12 xrletr 11332 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( B  +  x )  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  x ) )  ->  A  <_  ( B  +  x )
) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  x
) )  ->  A  <_  ( B  +  x
) ) )
147, 13mpan2d 672 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  x )
) )
1514ralrimdva 2821 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
16 rexr 9589 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
1716adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
18 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
19 qbtwnxr 11370 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  < 
A )  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) )
20193expia 1199 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) ) )
22 simprrl 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  <  y
)
23 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  e.  RR )
24 qre 11150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2524ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  RR )
26 difrp 11218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( B  <  y  <->  ( y  -  B )  e.  RR+ ) )
2723, 25, 26syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( B  < 
y  <->  ( y  -  B )  e.  RR+ ) )
2822, 27mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( y  -  B )  e.  RR+ )
29 simprrr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  <  A
)
3025rexrd 9593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  RR* )
31 simpll 752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  A  e.  RR* )
32 xrltnle 9603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
y  <  A  <->  -.  A  <_  y ) )
3330, 31, 32syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( y  < 
A  <->  -.  A  <_  y ) )
3429, 33mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A  <_  y )
3523recnd 9572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
3625recnd 9572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  CC )
3735, 36pncan3d 9890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( B  +  ( y  -  B
) )  =  y )
3837breq2d 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( A  <_ 
( B  +  ( y  -  B ) )  <->  A  <_  y ) )
3934, 38mtbird 299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) )
40 oveq2 6242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( B  +  x )  =  ( B  +  ( y  -  B
) ) )
4140breq2d 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( A  <_  ( B  +  x )  <->  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) ) )
4241notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( -.  A  <_  ( B  +  x )  <->  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) ) )
4342rspcev 3159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  -  B
)  e.  RR+  /\  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x
) )
4428, 39, 43syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x ) )
45 rexnal 2851 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x
)  <->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
)
4644, 45sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
)
4746rexlimdvaa 2896 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  QQ  ( B  <  y  /\  y  <  A )  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x ) ) )
4821, 47syld 42 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
) ) )
4948con2d 115 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
)  ->  -.  B  <  A ) )
50 xrlenlt 9602 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5116, 50sylan2 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5249, 51sylibrd 234 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
)  ->  A  <_  B ) )
5315, 52impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   RRcr 9441   0cc0 9442    + caddc 9445   RR*cxr 9577    < clt 9578    <_ cle 9579    - cmin 9761   QQcq 11145   RR+crp 11183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184
This theorem is referenced by:  alrple  11376  ovollb2  22084  ovolun  22094  ovoliun  22100  ovolscalem2  22109  nulmbl2  22131  omssubadd  28628
  Copyright terms: Public domain W3C validator