MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Structured version   Unicode version

Theorem xralrple 11395
Description: Show that  A is less than  B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem xralrple
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 11223 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  x
)
3 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
4 rpre 11217 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
63, 5addge01d 10131 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  x 
<->  B  <_  ( B  +  x ) ) )
72, 6mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  <_  ( B  +  x )
)
8 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR* )
93rexrd 9634 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
103, 5readdcld 9614 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  +  x )  e.  RR )
1110rexrd 9634 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  +  x )  e.  RR* )
12 xrletr 11352 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( B  +  x )  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  x ) )  ->  A  <_  ( B  +  x )
) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  x
) )  ->  A  <_  ( B  +  x
) ) )
147, 13mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  x )
) )
1514ralrimdva 2877 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
16 rexr 9630 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
18 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
19 qbtwnxr 11390 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  < 
A )  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) )
20193expia 1193 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) ) )
22 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  <  y
)
23 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  e.  RR )
24 qre 11178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  RR )
26 difrp 11244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( B  <  y  <->  ( y  -  B )  e.  RR+ ) )
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( B  < 
y  <->  ( y  -  B )  e.  RR+ ) )
2822, 27mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( y  -  B )  e.  RR+ )
29 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  <  A
)
3025rexrd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  RR* )
31 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  A  e.  RR* )
32 xrltnle 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
y  <  A  <->  -.  A  <_  y ) )
3330, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( y  < 
A  <->  -.  A  <_  y ) )
3429, 33mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A  <_  y )
3523recnd 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
3625recnd 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  CC )
3735, 36pncan3d 9924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( B  +  ( y  -  B
) )  =  y )
3837breq2d 4454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( A  <_ 
( B  +  ( y  -  B ) )  <->  A  <_  y ) )
3934, 38mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) )
40 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( B  +  x )  =  ( B  +  ( y  -  B
) ) )
4140breq2d 4454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( A  <_  ( B  +  x )  <->  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) ) )
4241notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( -.  A  <_  ( B  +  x )  <->  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) ) )
4342rspcev 3209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  -  B
)  e.  RR+  /\  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x
) )
4428, 39, 43syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x ) )
45 rexnal 2907 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x
)  <->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
)
4644, 45sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
)
4746rexlimdvaa 2951 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  QQ  ( B  <  y  /\  y  <  A )  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x ) ) )
4821, 47syld 44 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
) ) )
4948con2d 115 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
)  ->  -.  B  <  A ) )
50 xrlenlt 9643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5116, 50sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5249, 51sylibrd 234 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
)  ->  A  <_  B ) )
5315, 52impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    + caddc 9486   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   QQcq 11173   RR+crp 11211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212
This theorem is referenced by:  alrple  11396  ovollb2  21630  ovolun  21640  ovoliun  21646  ovolscalem2  21655  nulmbl2  21677
  Copyright terms: Public domain W3C validator