Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xraddge02 Structured version   Unicode version

Theorem xraddge02 26184
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xraddge02  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  ->  A  <_  ( A +e B ) ) )

Proof of Theorem xraddge02
StepHypRef Expression
1 xrleid 11228 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  A )
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  e.  RR* )
4 0xr 9531 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
53, 4jctir 538 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  e.  RR*  /\  0  e.  RR* ) )
6 xle2add 11323 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( ( A  <_  A  /\  0  <_  B )  ->  ( A +e 0 )  <_  ( A +e B ) ) )
75, 6mpancom 669 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  A  /\  0  <_  B )  ->  ( A +e 0 )  <_ 
( A +e
B ) ) )
82, 7mpand 675 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  ->  ( A +e 0 )  <_  ( A +e B ) ) )
9 xaddid1 11310 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )
109breq1d 4400 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( A +e 0 )  <_  ( A +e B )  <-> 
A  <_  ( A +e B ) ) )
1110adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A +e 0 )  <_  ( A +e B )  <-> 
A  <_  ( A +e B ) ) )
128, 11sylibd 214 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  ->  A  <_  ( A +e B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   0cc0 9383   RR*cxr 9518    <_ cle 9520   +ecxad 11188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-xadd 11191
This theorem is referenced by:  esumle  26642  esummono  26643  gsumesum  26644  esumlef  26647  measssd  26763  measunl  26764
  Copyright terms: Public domain W3C validator