Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xraddge02 Structured version   Unicode version

Theorem xraddge02 25985
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xraddge02  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  ->  A  <_  ( A +e B ) ) )

Proof of Theorem xraddge02
StepHypRef Expression
1 xrleid 11123 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )
21adantr 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  A )
3 simpl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  e.  RR* )
4 0xr 9426 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
53, 4jctir 535 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  e.  RR*  /\  0  e.  RR* ) )
6 xle2add 11218 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( ( A  <_  A  /\  0  <_  B )  ->  ( A +e 0 )  <_  ( A +e B ) ) )
75, 6mpancom 664 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  A  /\  0  <_  B )  ->  ( A +e 0 )  <_ 
( A +e
B ) ) )
82, 7mpand 670 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  ->  ( A +e 0 )  <_  ( A +e B ) ) )
9 xaddid1 11205 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )
109breq1d 4299 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( A +e 0 )  <_  ( A +e B )  <-> 
A  <_  ( A +e B ) ) )
1110adantr 462 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A +e 0 )  <_  ( A +e B )  <-> 
A  <_  ( A +e B ) ) )
128, 11sylibd 214 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  ->  A  <_  ( A +e B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   0cc0 9278   RR*cxr 9413    <_ cle 9415   +ecxad 11083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-xadd 11086
This theorem is referenced by:  esumle  26444  esummono  26445  gsumesum  26446  esumlef  26449  measssd  26565  measunl  26566
  Copyright terms: Public domain W3C validator