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Theorem xpwdomg 8003
Description: Weak dominance of a Cartesian product. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpwdomg  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )

Proof of Theorem xpwdomg
Dummy variables  a 
b  c  f  g  x  y  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 8001 . . 3  |-  ( A  ~<_*  B  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )
3 brwdom3i 8001 . . 3  |-  ( C  ~<_*  D  ->  E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d
) )
43adantl 464 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )
5 relwdom 7984 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_*
65brrelexi 5029 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  A  e.  _V )
75brrelexi 5029 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  C  e.  _V )
8 xpexg 6575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
96, 7, 8syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  e.  _V )
109adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( A  X.  C )  e.  _V )
115brrelex2i 5030 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  B  e.  _V )
125brrelex2i 5030 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  D  e.  _V )
13 xpexg 6575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( B  X.  D
)  e.  _V )
1411, 12, 13syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( B  X.  D )  e.  _V )
1514adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( B  X.  D )  e.  _V )
16 pm3.2 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1716ralimdv 2864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1817com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1918ralimdv 2864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2019impcom 428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )
21 pm3.2 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( f `  b )  ->  (
c  =  ( g `
 d )  -> 
( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2221reximdv 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( f `  b )  ->  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2322com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  (
a  =  ( f `
 b )  ->  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2423reximdv 2928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2524impcom 428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2625ralimi 2847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2726ralimi 2847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
29 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  <.
a ,  c >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. ) )
30 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  a  e. 
_V
31 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  c  e. 
_V
3230, 31opth 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
a ,  c >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. 
<->  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
3329, 32syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  ( a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
34332rexbidv 2972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  (
a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
3534ralxp 5133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  C ) E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  (
a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
3628, 35sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. x  e.  ( A  X.  C ) E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. )
3736r19.21bi 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C
) )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.
)
38 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  b  e. 
_V
39 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  d  e. 
_V
4038, 39op1std 6783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( 1st `  y
)  =  b )
4140fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `
 b ) )
4238, 39op2ndd 6784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( 2nd `  y
)  =  d )
4342fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( g `  ( 2nd `  y ) )  =  ( g `
 d ) )
4441, 43opeq12d 4211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `
 ( 2nd `  y
) ) >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d ) >. )
4544eqeq2d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) ) >.  <->  x  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d ) >. )
)
4645rexxp 5134 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( B  X.  D ) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `
 ( 2nd `  y
) ) >.  <->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.
)
4737, 46sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C
) )  ->  E. y  e.  ( B  X.  D
) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) )
>. )
4847adantll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C ) )  ->  E. y  e.  ( B  X.  D
) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) )
>. )
4910, 15, 48wdom2d 7998 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )
5049expr 613 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )  ->  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D ) ) )
5150exlimdv 1729 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) )
5251ex 432 . . 3  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) ) )
5352exlimdv 1729 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) ) )
542, 4, 53mp2d 45 1  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   <.cop 4022   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   ` cfv 5570   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772    ~<_* cwdom 7975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-wdom 7977
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