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Theorem xpwdomg 7803
Description: Weak dominance of a Cartesian product. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpwdomg  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )

Proof of Theorem xpwdomg
Dummy variables  a 
b  c  f  g  x  y  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 7801 . . 3  |-  ( A  ~<_*  B  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )
3 brwdom3i 7801 . . 3  |-  ( C  ~<_*  D  ->  E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d
) )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )
5 relwdom 7784 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_*
65brrelexi 4882 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  A  e.  _V )
75brrelexi 4882 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  C  e.  _V )
8 xpexg 6510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  e.  _V )
109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( A  X.  C )  e.  _V )
115brrelex2i 4883 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  B  e.  _V )
125brrelex2i 4883 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  D  e.  _V )
13 xpexg 6510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( B  X.  D
)  e.  _V )
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( B  X.  D )  e.  _V )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( B  X.  D )  e.  _V )
16 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1716ralimdv 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1817com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1918ralimdv 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2019impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )
21 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( f `  b )  ->  (
c  =  ( g `
 d )  -> 
( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2221reximdv 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( f `  b )  ->  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2322com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  (
a  =  ( f `
 b )  ->  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2423reximdv 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2524impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2625ralimi 2794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2726ralimi 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
29 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  <.
a ,  c >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. ) )
30 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  a  e. 
_V
31 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  c  e. 
_V
3230, 31opth 4569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
a ,  c >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. 
<->  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
3329, 32syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  ( a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
34332rexbidv 2761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  (
a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
3534ralxp 4984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  C ) E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  (
a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
3628, 35sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. x  e.  ( A  X.  C ) E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. )
3736r19.21bi 2817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C
) )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.
)
38 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  b  e. 
_V
39 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  d  e. 
_V
4038, 39op1std 6590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( 1st `  y
)  =  b )
4140fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `
 b ) )
4238, 39op2ndd 6591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( 2nd `  y
)  =  d )
4342fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( g `  ( 2nd `  y ) )  =  ( g `
 d ) )
4441, 43opeq12d 4070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `
 ( 2nd `  y
) ) >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d ) >. )
4544eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) ) >.  <->  x  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d ) >. )
)
4645rexxp 4985 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( B  X.  D ) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `
 ( 2nd `  y
) ) >.  <->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.
)
4737, 46sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C
) )  ->  E. y  e.  ( B  X.  D
) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) )
>. )
4847adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C ) )  ->  E. y  e.  ( B  X.  D
) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) )
>. )
4910, 15, 48wdom2d 7798 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )
5049expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )  ->  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D ) ) )
5150exlimdv 1690 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) )
5251ex 434 . . 3  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) ) )
5352exlimdv 1690 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) ) )
542, 4, 53mp2d 45 1  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   <.cop 3886   class class class wbr 4295    X. cxp 4841   ` cfv 5421   1stc1st 6578   2ndc2nd 6579    ~<_* cwdom 7775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-wdom 7777
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