MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsxms Structured version   Unicode version

Theorem xpsxms 20765
Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsms.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsxms  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  T  e.  *MetSp )

Proof of Theorem xpsxms
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsms.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  R  e.  *MetSp )
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  S  e.  *MetSp )
6 eqid 2460 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2460 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2460 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 14816 . 2  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 14817 . 2  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
116xpsff1o2 14815 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
12 f1ocnv 5819 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
1311, 12mp1i 12 . 2  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
14 fvex 5867 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
16 2onn 7279 . . . 4  |-  2o  e.  om
17 nnfi 7700 . . . 4  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1816, 17mp1i 12 . . 3  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  2o  e.  Fin )
19 xpscf 14810 . . . 4  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> *MetSp  <->  ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp ) )
2019biimpri 206 . . 3  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> *MetSp )
218prdsxms 20761 . . 3  |-  ( ( (Scalar `  R )  e.  _V  /\  2o  e.  Fin  /\  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> *MetSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  *MetSp )
2215, 18, 20, 21syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  *MetSp )
239, 10, 13, 22imasf1oxms 20720 1  |-  ( ( R  e.  *MetSp  /\  S  e.  *MetSp )  ->  T  e.  *MetSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   {csn 4020    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   ran crn 4993   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   omcom 6671   2oc2o 7114   Fincfn 7506    +c ccda 8536   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   X_scprds 14690    X.s cxps 14750   *MetSpcxme 20548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-xms 20551
This theorem is referenced by:  tmsxps  20767  tmsxpsmopn  20768
  Copyright terms: Public domain W3C validator