MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsxmet Structured version   Unicode version

Theorem xpsxmet 20088
Description: A product metric of extended metrics is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsds.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsds.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsds.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsds.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsds.p  |-  P  =  ( dist `  T
)
xpsds.m  |-  M  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )
xpsds.n  |-  N  =  ( ( dist `  S
)  |`  ( Y  X.  Y ) )
xpsds.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
xpsds.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
xpsxmet  |-  ( ph  ->  P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y ) ) )

Proof of Theorem xpsxmet
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 xpsds.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  R
)
3 xpsds.y . . 3  |-  Y  =  ( Base `  S
)
4 xpsds.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
5 xpsds.2 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
6 eqid 2454 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2454 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 14630 . 2  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 14631 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
116xpsff1o2 14629 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
12 f1ocnv 5762 . . 3  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
1311, 12mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
14 ovex 6226 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
1514a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
16 eqid 2454 . 2  |-  ( (
dist `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  |`  ( ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  X.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )  =  ( ( dist `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  |`  ( ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  X.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )
17 xpsds.p . 2  |-  P  =  ( dist `  T
)
18 xpsds.m . . . 4  |-  M  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( X  X.  X ) )
19 xpsds.n . . . 4  |-  N  =  ( ( dist `  S
)  |`  ( Y  X.  Y ) )
20 xpsds.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
21 xpsds.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
221, 2, 3, 4, 5, 17, 18, 19, 20, 21xpsxmetlem 20087 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  e.  ( *Met `  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )
23 ssid 3484 . . 3  |-  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  C_  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
24 xmetres2 20069 . . 3  |-  ( ( ( dist `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  e.  ( *Met `  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  /\  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  C_  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  -> 
( ( dist `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  |`  ( ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  X.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )  e.  ( *Met ` 
ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) ) )
2522, 23, 24sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  |`  ( ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  X.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )  e.  ( *Met ` 
ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) ) )
269, 10, 13, 15, 16, 17, 25imasf1oxmet 20083 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( *Met `  ( X  X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   {csn 3986    X. cxp 4947   `'ccnv 4948   ran crn 4950    |` cres 4951   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203    +c ccda 8448   Basecbs 14293  Scalarcsca 14361   distcds 14367   X_scprds 14504    X.s cxps 14564   *Metcxmt 17927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-xmet 17936
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator