Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsvsca Structured version   Unicode version

Theorem xpsvsca 15195
 Description: Value of the scalar multiplication function in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpssca.t s
xpssca.g Scalar
xpssca.1
xpssca.2
xpsvsca.x
xpsvsca.y
xpsvsca.k
xpsvsca.m
xpsvsca.n
xpsvsca.p
xpsvsca.3
xpsvsca.4
xpsvsca.5
xpsvsca.6
xpsvsca.7
Assertion
Ref Expression
xpsvsca

Proof of Theorem xpsvsca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsvsca.3 . . 3
2 df-ov 6283 . . . . 5
3 xpsvsca.4 . . . . . 6
4 xpsvsca.5 . . . . . 6
5 eqid 2404 . . . . . . 7
65xpsfval 15183 . . . . . 6
73, 4, 6syl2anc 661 . . . . 5
82, 7syl5eqr 2459 . . . 4
9 opelxpi 4857 . . . . . 6
103, 4, 9syl2anc 661 . . . . 5
115xpsff1o2 15187 . . . . . . 7
12 f1of 5801 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
1413ffvelrni 6010 . . . . 5
1510, 14syl 17 . . . 4
168, 15eqeltrrd 2493 . . 3
17 xpssca.t . . . . 5 s
18 xpsvsca.x . . . . 5
19 xpsvsca.y . . . . 5
20 xpssca.1 . . . . 5
21 xpssca.2 . . . . 5
22 xpssca.g . . . . 5 Scalar
23 eqid 2404 . . . . 5 s s
2417, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpsval 15188 . . . 4 s s
2517, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpslem 15189 . . . 4 s
26 f1ocnv 5813 . . . . . 6
2711, 26mp1i 13 . . . . 5
28 f1ofo 5808 . . . . 5
2927, 28syl 17 . . . 4
30 ovex 6308 . . . . 5 s
3130a1i 11 . . . 4 s
32 fvex 5861 . . . . . . . 8 Scalar
3322, 32eqeltri 2488 . . . . . . 7
3433a1i 11 . . . . . 6
35 ovex 6308 . . . . . . . 8
3635cnvex 6733 . . . . . . 7
3736a1i 11 . . . . . 6
3823, 34, 37prdssca 15072 . . . . 5 Scalars
3938trud 1416 . . . 4 Scalars
40 xpsvsca.k . . . 4
41 eqid 2404 . . . 4 s s
42 xpsvsca.p . . . 4
4327f1ovscpbl 15142 . . . 4 s s
4424, 25, 29, 31, 39, 40, 41, 42, 43imasvscaval 15154 . . 3 s
451, 16, 44mpd3an23 1330 . 2 s
46 f1ocnvfv 6167 . . . . 5
4711, 10, 46sylancr 663 . . . 4
488, 47mpd 15 . . 3
4948oveq2d 6296 . 2
50 iftrue 3893 . . . . . . . . . . . 12
5150fveq2d 5855 . . . . . . . . . . 11
52 xpsvsca.m . . . . . . . . . . 11
5351, 52syl6eqr 2463 . . . . . . . . . 10
54 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10
55 iftrue 3893 . . . . . . . . . 10
5653, 54, 55oveq123d 6301 . . . . . . . . 9
57 iftrue 3893 . . . . . . . . 9
5856, 57eqtr4d 2448 . . . . . . . 8
59 iffalse 3896 . . . . . . . . . . . 12
6059fveq2d 5855 . . . . . . . . . . 11
61 xpsvsca.n . . . . . . . . . . 11
6260, 61syl6eqr 2463 . . . . . . . . . 10
63 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10
64 iffalse 3896 . . . . . . . . . 10
6562, 63, 64oveq123d 6301 . . . . . . . . 9
66 iffalse 3896 . . . . . . . . 9
6765, 66eqtr4d 2448 . . . . . . . 8
6858, 67pm2.61i 166 . . . . . . 7
6920adantr 465 . . . . . . . . . 10
7021adantr 465 . . . . . . . . . 10
71 simpr 461 . . . . . . . . . 10
72 xpscfv 15178 . . . . . . . . . 10
7369, 70, 71, 72syl3anc 1232 . . . . . . . . 9
7473fveq2d 5855 . . . . . . . 8
75 eqidd 2405 . . . . . . . 8
763adantr 465 . . . . . . . . 9
774adantr 465 . . . . . . . . 9
78 xpscfv 15178 . . . . . . . . 9
7976, 77, 71, 78syl3anc 1232 . . . . . . . 8
8074, 75, 79oveq123d 6301 . . . . . . 7
81 xpsvsca.6 . . . . . . . . 9
8281adantr 465 . . . . . . . 8
83 xpsvsca.7 . . . . . . . . 9
8483adantr 465 . . . . . . . 8
85 xpscfv 15178 . . . . . . . 8
8682, 84, 71, 85syl3anc 1232 . . . . . . 7
8768, 80, 863eqtr4a 2471 . . . . . 6
8887mpteq2dva 4483 . . . . 5
89 eqid 2404 . . . . . 6 s s
9033a1i 11 . . . . . 6
91 2on 7177 . . . . . . 7
9291a1i 11 . . . . . 6
93 xpscfn 15175 . . . . . . 7
9420, 21, 93syl2anc 661 . . . . . 6
9516, 25eleqtrd 2494 . . . . . 6 s
9623, 89, 41, 40, 90, 92, 94, 1, 95prdsvscaval 15095 . . . . 5 s
97 xpscfn 15175 . . . . . . 7
9881, 83, 97syl2anc 661 . . . . . 6
99 dffn5 5896 . . . . . 6
10098, 99sylib 198 . . . . 5
10188, 96, 1003eqtr4d 2455 . . . 4 s
102101fveq2d 5855 . . 3 s
103 df-ov 6283 . . . . 5
1045xpsfval 15183 . . . . . 6
10581, 83, 104syl2anc 661 . . . . 5
106103, 105syl5eqr 2459 . . . 4
107 opelxpi 4857 . . . . . 6
10881, 83, 107syl2anc 661 . . . . 5
109 f1ocnvfv 6167 . . . . 5
11011, 108, 109sylancr 663 . . . 4
111106, 110mpd 15 . . 3
112102, 111eqtrd 2445 . 2 s
11345, 49, 1123eqtr3d 2453 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1407   wtru 1408   wcel 1844  cvv 3061  c0 3740  cif 3887  csn 3974  cop 3980   cmpt 4455   cxp 4823  ccnv 4824   crn 4826  con0 5412   wfn 5566  wf 5567  wfo 5569  wf1o 5570  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmpt2 6282  c2o 7163   ccda 8581  cbs 14843  Scalarcsca 14914  cvsca 14915  scprds 15062   s cxps 15122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-hom 14935  df-cco 14936  df-prds 15064  df-imas 15124  df-xps 15126 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator