Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsvsca Structured version   Unicode version

Theorem xpsvsca 14830
 Description: Value of the scalar multiplication function in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpssca.t s
xpssca.g Scalar
xpssca.1
xpssca.2
xpsvsca.x
xpsvsca.y
xpsvsca.k
xpsvsca.m
xpsvsca.n
xpsvsca.p
xpsvsca.3
xpsvsca.4
xpsvsca.5
xpsvsca.6
xpsvsca.7
Assertion
Ref Expression
xpsvsca

Proof of Theorem xpsvsca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsvsca.3 . . 3
2 df-ov 6285 . . . . 5
3 xpsvsca.4 . . . . . 6
4 xpsvsca.5 . . . . . 6
5 eqid 2467 . . . . . . 7
65xpsfval 14818 . . . . . 6
73, 4, 6syl2anc 661 . . . . 5
82, 7syl5eqr 2522 . . . 4
9 opelxpi 5030 . . . . . 6
103, 4, 9syl2anc 661 . . . . 5
115xpsff1o2 14822 . . . . . . 7
12 f1of 5814 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
1413ffvelrni 6018 . . . . 5
1510, 14syl 16 . . . 4
168, 15eqeltrrd 2556 . . 3
17 xpssca.t . . . . 5 s
18 xpsvsca.x . . . . 5
19 xpsvsca.y . . . . 5
20 xpssca.1 . . . . 5
21 xpssca.2 . . . . 5
22 xpssca.g . . . . 5 Scalar
23 eqid 2467 . . . . 5 s s
2417, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpsval 14823 . . . 4 s s
2517, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpslem 14824 . . . 4 s
26 f1ocnv 5826 . . . . . 6
2711, 26mp1i 12 . . . . 5
28 f1ofo 5821 . . . . 5
2927, 28syl 16 . . . 4
30 ovex 6307 . . . . 5 s
3130a1i 11 . . . 4 s
32 fvex 5874 . . . . . . . 8 Scalar
3322, 32eqeltri 2551 . . . . . . 7
3433a1i 11 . . . . . 6
35 ovex 6307 . . . . . . . 8
3635cnvex 6728 . . . . . . 7
3736a1i 11 . . . . . 6
3823, 34, 37prdssca 14707 . . . . 5 Scalars
3938trud 1388 . . . 4 Scalars
40 xpsvsca.k . . . 4
41 eqid 2467 . . . 4 s s
42 xpsvsca.p . . . 4
4327f1ovscpbl 14777 . . . 4 s s
4424, 25, 29, 31, 39, 40, 41, 42, 43imasvscaval 14789 . . 3 s
451, 16, 44mpd3an23 1326 . 2 s
46 f1ocnvfv 6170 . . . . 5
4711, 10, 46sylancr 663 . . . 4
488, 47mpd 15 . . 3
4948oveq2d 6298 . 2
50 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . 12
5150fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11
52 xpsvsca.m . . . . . . . . . . 11
5351, 52syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10
54 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10
55 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10
5653, 54, 55oveq123d 6303 . . . . . . . . 9
57 iftrue 3945 . . . . . . . . 9
5856, 57eqtr4d 2511 . . . . . . . 8
59 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . 12
6059fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11
61 xpsvsca.n . . . . . . . . . . 11
6260, 61syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10
63 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10
64 iffalse 3948 . . . . . . . . . 10
6562, 63, 64oveq123d 6303 . . . . . . . . 9
66 iffalse 3948 . . . . . . . . 9
6765, 66eqtr4d 2511 . . . . . . . 8
6858, 67pm2.61i 164 . . . . . . 7
6920adantr 465 . . . . . . . . . 10
7021adantr 465 . . . . . . . . . 10
71 simpr 461 . . . . . . . . . 10
72 xpscfv 14813 . . . . . . . . . 10
7369, 70, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
7473fveq2d 5868 . . . . . . . 8
75 eqidd 2468 . . . . . . . 8
763adantr 465 . . . . . . . . 9
774adantr 465 . . . . . . . . 9
78 xpscfv 14813 . . . . . . . . 9
7976, 77, 71, 78syl3anc 1228 . . . . . . . 8
8074, 75, 79oveq123d 6303 . . . . . . 7
81 xpsvsca.6 . . . . . . . . 9
8281adantr 465 . . . . . . . 8
83 xpsvsca.7 . . . . . . . . 9
8483adantr 465 . . . . . . . 8
85 xpscfv 14813 . . . . . . . 8
8682, 84, 71, 85syl3anc 1228 . . . . . . 7
8768, 80, 863eqtr4a 2534 . . . . . 6
8887mpteq2dva 4533 . . . . 5
89 eqid 2467 . . . . . 6 s s
9033a1i 11 . . . . . 6
91 2on 7135 . . . . . . 7
9291a1i 11 . . . . . 6
93 xpscfn 14810 . . . . . . 7
9420, 21, 93syl2anc 661 . . . . . 6
9516, 25eleqtrd 2557 . . . . . 6 s
9623, 89, 41, 40, 90, 92, 94, 1, 95prdsvscaval 14730 . . . . 5 s
97 xpscfn 14810 . . . . . . 7
9881, 83, 97syl2anc 661 . . . . . 6
99 dffn5 5911 . . . . . 6
10098, 99sylib 196 . . . . 5
10188, 96, 1003eqtr4d 2518 . . . 4 s
102101fveq2d 5868 . . 3 s
103 df-ov 6285 . . . . 5
1045xpsfval 14818 . . . . . 6
10581, 83, 104syl2anc 661 . . . . 5
106103, 105syl5eqr 2522 . . . 4
107 opelxpi 5030 . . . . . 6
10881, 83, 107syl2anc 661 . . . . 5
109 f1ocnvfv 6170 . . . . 5
11011, 108, 109sylancr 663 . . . 4
111106, 110mpd 15 . . 3
112102, 111eqtrd 2508 . 2 s
11345, 49, 1123eqtr3d 2516 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1379   wtru 1380   wcel 1767  cvv 3113  c0 3785  cif 3939  csn 4027  cop 4033   cmpt 4505  con0 4878   cxp 4997  ccnv 4998   crn 5000   wfn 5581  wf 5582  wfo 5584  wf1o 5585  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmpt2 6284  c2o 7121   ccda 8543  cbs 14486  Scalarcsca 14554  cvsca 14555  scprds 14697   s cxps 14757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-prds 14699  df-imas 14759  df-xps 14761 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator