MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsvsca Unicode version

Theorem xpsvsca 13759
Description: Value of the scalar multiplication function in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpssca.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpssca.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
xpssca.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpssca.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsvsca.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsvsca.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsvsca.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
xpsvsca.m  |-  .x.  =  ( .s `  R )
xpsvsca.n  |-  .X.  =  ( .s `  S )
xpsvsca.p  |-  .xb  =  ( .s `  T )
xpsvsca.3  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
xpsvsca.4  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
xpsvsca.5  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
xpsvsca.6  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  B
)  e.  X )
xpsvsca.7  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  C
)  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
xpsvsca  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  <. B ,  C >. )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )

Proof of Theorem xpsvsca
Dummy variables  k 
a  x  y  c  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsvsca.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2 df-ov 6043 . . . . 5  |-  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. B ,  C >. )
3 xpsvsca.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
4 xpsvsca.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
5 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
65xpsfval 13747 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y )  ->  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
73, 4, 6syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
82, 7syl5eqr 2450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
9 opelxpi 4869 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y )  -> 
<. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
) )
103, 4, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
) )
115xpsff1o2 13751 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
12 f1of 5633 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
1413ffvelrni 5828 . . . . 5  |-  ( <. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. B ,  C >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1510, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
168, 15eqeltrrd 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { B }  +c  { C }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
17 xpssca.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  X.s  S )
18 xpsvsca.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  R
)
19 xpsvsca.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  S
)
20 xpssca.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
21 xpssca.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
22 xpssca.g . . . . 5  |-  G  =  (Scalar `  R )
23 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )
2417, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpsval 13752 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
2517, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpslem 13753 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
26 f1ocnv 5646 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
2711, 26mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
28 f1ofo 5640 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
30 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
32 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
3322, 32eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  G  e.  _V )
35 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( { R }  +c  { S } )  e.  _V
3635cnvex 5365 . . . . . . 7  |-  `' ( { R }  +c  { S } )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  `' ( { R }  +c  { S }
)  e.  _V )
3823, 34, 37prdssca 13634 . . . . 5  |-  (  T. 
->  G  =  (Scalar `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3938trud 1329 . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
40 xpsvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  G
)
41 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
42 xpsvsca.p . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  T )
4327f1ovscpbl 13706 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  K  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b
)  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
a ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) b ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 ( a ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) c ) ) ) )
4424, 25, 29, 31, 39, 40, 41, 42, 43imasvscaval 13718 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  K  /\  `' ( { B }  +c  { C } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  -> 
( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( A ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) ) )
451, 16, 44mpd3an23 1281 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( A ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) ) )
46 f1ocnvfv 5975 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  <. B ,  C >. ) )
4711, 10, 46sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) )  = 
<. B ,  C >. ) )
488, 47mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) )  = 
<. B ,  C >. )
4948oveq2d 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( A  .xb  <. B ,  C >. ) )
50 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  R ,  S )  =  R )
5150fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  (/)  ->  ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  =  ( .s `  R
) )
52 xpsvsca.m . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  R )
5351, 52syl6eqr 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  = 
.x.  )
54 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  A  =  A )
55 iftrue 3705 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  B ,  C )  =  B )
5653, 54, 55oveq123d 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  ( A  .x.  B
) )
57 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) )  =  ( A  .x.  B
) )
5856, 57eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
) )
59 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  R ,  S )  =  S )
6059fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  =  ( .s `  S
) )
61 xpsvsca.n . . . . . . . . . . 11  |-  .X.  =  ( .s `  S )
6260, 61syl6eqr 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  = 
.X.  )
63 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  A  =  A )
64 iffalse 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  B ,  C )  =  C )
6562, 63, 64oveq123d 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  ( A  .X.  C
) )
66 iffalse 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) )  =  ( A  .X.  C ) )
6765, 66eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
) )
6858, 67pm2.61i 158 . . . . . . 7  |-  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
)
6920adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  R  e.  V )
7021adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  S  e.  W )
71 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  k  e.  2o )
72 xpscfv 13742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S
) )
7473fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( .s
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
75 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  A  =  A )
763adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  B  e.  X )
774adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  C  e.  Y )
78 xpscfv 13742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )
7976, 77, 71, 78syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { B }  +c  { C } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  B ,  C
) )
8074, 75, 79oveq123d 6061 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) )  =  ( A ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) ) )
81 xpsvsca.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  B
)  e.  X )
8281adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A 
.x.  B )  e.  X )
83 xpsvsca.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  C
)  e.  Y )
8483adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A 
.X.  C )  e.  Y )
85 xpscfv 13742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) ) )
8682, 84, 71, 85syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { ( A 
.x.  B ) }  +c  { ( A 
.X.  C ) } ) `  k )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A 
.x.  B ) ,  ( A  .X.  C
) ) )
8768, 80, 863eqtr4a 2462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) )  =  ( `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) `  k ) )
8887mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  2o  |->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) `  k ) ) )
89 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
9033a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
91 2on 6691 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
9291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
93 xpscfn 13739 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
9420, 21, 93syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
9516, 25eleqtrd 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { B }  +c  { C }
)  e.  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
9623, 89, 41, 40, 90, 92, 94, 1, 95prdsvscaval 13656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) ) ) )
97 xpscfn 13739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  Fn  2o )
9881, 83, 97syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  Fn  2o )
99 dffn5 5731 . . . . . 6  |-  ( `' ( { ( A 
.x.  B ) }  +c  { ( A 
.X.  C ) } )  Fn  2o  <->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
) ) )
10098, 99sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
) ) )
10188, 96, 1003eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) )
102101fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 ( A ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) ) )
103 df-ov 6043 . . . . 5  |-  ( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A 
.X.  C ) )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
1045xpsfval 13747 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  -> 
( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A  .X.  C
) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
10581, 83, 104syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A  .X.  C
) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
106103, 105syl5eqr 2450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
107 opelxpi 4869 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  ->  <. ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
10881, 83, 107syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
109 f1ocnvfv 5975 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. ) )
11011, 108, 109sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. ) )
111106, 110mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
112102, 111eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 ( A ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
11345, 49, 1123eqtr3d 2444 1  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  <. B ,  C >. )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   ifcif 3699   {csn 3774   <.cop 3777    e. cmpt 4226   Oncon0 4541    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   2oc2o 6677    +c ccda 8003   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   X_scprds 13624    X.s cxps 13687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-imas 13689  df-xps 13691
  Copyright terms: Public domain W3C validator