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Theorem xpsvsca 14830
Description: Value of the scalar multiplication function in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpssca.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpssca.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
xpssca.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpssca.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsvsca.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsvsca.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsvsca.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
xpsvsca.m  |-  .x.  =  ( .s `  R )
xpsvsca.n  |-  .X.  =  ( .s `  S )
xpsvsca.p  |-  .xb  =  ( .s `  T )
xpsvsca.3  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
xpsvsca.4  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
xpsvsca.5  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
xpsvsca.6  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  B
)  e.  X )
xpsvsca.7  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  C
)  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
xpsvsca  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  <. B ,  C >. )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )

Proof of Theorem xpsvsca
Dummy variables  k 
a  x  y  c  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsvsca.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2 df-ov 6285 . . . . 5  |-  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. B ,  C >. )
3 xpsvsca.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
4 xpsvsca.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
5 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
65xpsfval 14818 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y )  ->  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
73, 4, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
82, 7syl5eqr 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
9 opelxpi 5030 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y )  -> 
<. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
) )
103, 4, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
) )
115xpsff1o2 14822 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
12 f1of 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
1413ffvelrni 6018 . . . . 5  |-  ( <. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. B ,  C >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1510, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
168, 15eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { B }  +c  { C }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
17 xpssca.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  X.s  S )
18 xpsvsca.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  R
)
19 xpsvsca.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  S
)
20 xpssca.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
21 xpssca.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
22 xpssca.g . . . . 5  |-  G  =  (Scalar `  R )
23 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )
2417, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpsval 14823 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
2517, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpslem 14824 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
26 f1ocnv 5826 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
2711, 26mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
28 f1ofo 5821 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
30 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
32 fvex 5874 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
3322, 32eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
35 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( { R }  +c  { S } )  e.  _V
3635cnvex 6728 . . . . . . 7  |-  `' ( { R }  +c  { S } )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  `' ( { R }  +c  { S }
)  e.  _V )
3823, 34, 37prdssca 14707 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G  =  (Scalar `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3938trud 1388 . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
40 xpsvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  G
)
41 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
42 xpsvsca.p . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  T )
4327f1ovscpbl 14777 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  K  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b
)  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
a ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) b ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 ( a ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) c ) ) ) )
4424, 25, 29, 31, 39, 40, 41, 42, 43imasvscaval 14789 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  K  /\  `' ( { B }  +c  { C } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  -> 
( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( A ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) ) )
451, 16, 44mpd3an23 1326 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( A ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) ) )
46 f1ocnvfv 6170 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  <. B ,  C >. ) )
4711, 10, 46sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) )  = 
<. B ,  C >. ) )
488, 47mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) )  = 
<. B ,  C >. )
4948oveq2d 6298 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( A  .xb  <. B ,  C >. ) )
50 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  R ,  S )  =  R )
5150fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  (/)  ->  ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  =  ( .s `  R
) )
52 xpsvsca.m . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  R )
5351, 52syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  = 
.x.  )
54 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  A  =  A )
55 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  B ,  C )  =  B )
5653, 54, 55oveq123d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  ( A  .x.  B
) )
57 iftrue 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) )  =  ( A  .x.  B
) )
5856, 57eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
) )
59 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  R ,  S )  =  S )
6059fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  =  ( .s `  S
) )
61 xpsvsca.n . . . . . . . . . . 11  |-  .X.  =  ( .s `  S )
6260, 61syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  = 
.X.  )
63 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  A  =  A )
64 iffalse 3948 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  B ,  C )  =  C )
6562, 63, 64oveq123d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  ( A  .X.  C
) )
66 iffalse 3948 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) )  =  ( A  .X.  C ) )
6765, 66eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
) )
6858, 67pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
)
6920adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  R  e.  V )
7021adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  S  e.  W )
71 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  k  e.  2o )
72 xpscfv 14813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S
) )
7473fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( .s
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
75 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  A  =  A )
763adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  B  e.  X )
774adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  C  e.  Y )
78 xpscfv 14813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )
7976, 77, 71, 78syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { B }  +c  { C } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  B ,  C
) )
8074, 75, 79oveq123d 6303 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) )  =  ( A ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) ) )
81 xpsvsca.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  B
)  e.  X )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A 
.x.  B )  e.  X )
83 xpsvsca.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  C
)  e.  Y )
8483adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A 
.X.  C )  e.  Y )
85 xpscfv 14813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) ) )
8682, 84, 71, 85syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { ( A 
.x.  B ) }  +c  { ( A 
.X.  C ) } ) `  k )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A 
.x.  B ) ,  ( A  .X.  C
) ) )
8768, 80, 863eqtr4a 2534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) )  =  ( `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) `  k ) )
8887mpteq2dva 4533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  2o  |->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) `  k ) ) )
89 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
9033a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
91 2on 7135 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
9291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
93 xpscfn 14810 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
9420, 21, 93syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
9516, 25eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { B }  +c  { C }
)  e.  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
9623, 89, 41, 40, 90, 92, 94, 1, 95prdsvscaval 14730 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) ) ) )
97 xpscfn 14810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  Fn  2o )
9881, 83, 97syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  Fn  2o )
99 dffn5 5911 . . . . . 6  |-  ( `' ( { ( A 
.x.  B ) }  +c  { ( A 
.X.  C ) } )  Fn  2o  <->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
) ) )
10098, 99sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
) ) )
10188, 96, 1003eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) )
102101fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 ( A ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) ) )
103 df-ov 6285 . . . . 5  |-  ( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A 
.X.  C ) )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
1045xpsfval 14818 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  -> 
( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A  .X.  C
) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
10581, 83, 104syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A  .X.  C
) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
106103, 105syl5eqr 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
107 opelxpi 5030 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  ->  <. ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
10881, 83, 107syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
109 f1ocnvfv 6170 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. ) )
11011, 108, 109sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. ) )
111106, 110mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
112102, 111eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 ( A ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
11345, 49, 1123eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  <. B ,  C >. )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   <.cop 4033    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   2oc2o 7121    +c ccda 8543   Basecbs 14486  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   X_scprds 14697    X.s cxps 14757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-prds 14699  df-imas 14759  df-xps 14761
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