MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsvsca Structured version   Unicode version

Theorem xpsvsca 14520
Description: Value of the scalar multiplication function in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpssca.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpssca.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
xpssca.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpssca.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsvsca.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsvsca.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsvsca.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
xpsvsca.m  |-  .x.  =  ( .s `  R )
xpsvsca.n  |-  .X.  =  ( .s `  S )
xpsvsca.p  |-  .xb  =  ( .s `  T )
xpsvsca.3  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
xpsvsca.4  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
xpsvsca.5  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
xpsvsca.6  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  B
)  e.  X )
xpsvsca.7  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  C
)  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
xpsvsca  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  <. B ,  C >. )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )

Proof of Theorem xpsvsca
Dummy variables  k 
a  x  y  c  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsvsca.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2 df-ov 6097 . . . . 5  |-  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. B ,  C >. )
3 xpsvsca.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
4 xpsvsca.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
5 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
65xpsfval 14508 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y )  ->  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
73, 4, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
82, 7syl5eqr 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
9 opelxpi 4874 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y )  -> 
<. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
) )
103, 4, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
) )
115xpsff1o2 14512 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
12 f1of 5644 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
1413ffvelrni 5845 . . . . 5  |-  ( <. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. B ,  C >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1510, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
168, 15eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { B }  +c  { C }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
17 xpssca.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  X.s  S )
18 xpsvsca.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  R
)
19 xpsvsca.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  S
)
20 xpssca.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
21 xpssca.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
22 xpssca.g . . . . 5  |-  G  =  (Scalar `  R )
23 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )
2417, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpsval 14513 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
2517, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpslem 14514 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
26 f1ocnv 5656 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
2711, 26mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
28 f1ofo 5651 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
30 ovex 6119 . . . . 5  |-  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
32 fvex 5704 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
3322, 32eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
35 ovex 6119 . . . . . . . 8  |-  ( { R }  +c  { S } )  e.  _V
3635cnvex 6528 . . . . . . 7  |-  `' ( { R }  +c  { S } )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  `' ( { R }  +c  { S }
)  e.  _V )
3823, 34, 37prdssca 14397 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G  =  (Scalar `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3938trud 1378 . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
40 xpsvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  G
)
41 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
42 xpsvsca.p . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  T )
4327f1ovscpbl 14467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  K  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b
)  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
a ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) b ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 ( a ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) c ) ) ) )
4424, 25, 29, 31, 39, 40, 41, 42, 43imasvscaval 14479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  K  /\  `' ( { B }  +c  { C } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  -> 
( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( A ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) ) )
451, 16, 44mpd3an23 1316 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( A ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) ) )
46 f1ocnvfv 5988 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  <. B ,  C >. ) )
4711, 10, 46sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) )  = 
<. B ,  C >. ) )
488, 47mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) )  = 
<. B ,  C >. )
4948oveq2d 6110 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( A  .xb  <. B ,  C >. ) )
50 iftrue 3800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  R ,  S )  =  R )
5150fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  (/)  ->  ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  =  ( .s `  R
) )
52 xpsvsca.m . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  R )
5351, 52syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  = 
.x.  )
54 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  A  =  A )
55 iftrue 3800 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  B ,  C )  =  B )
5653, 54, 55oveq123d 6115 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  ( A  .x.  B
) )
57 iftrue 3800 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) )  =  ( A  .x.  B
) )
5856, 57eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
) )
59 iffalse 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  R ,  S )  =  S )
6059fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  =  ( .s `  S
) )
61 xpsvsca.n . . . . . . . . . . 11  |-  .X.  =  ( .s `  S )
6260, 61syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  = 
.X.  )
63 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  A  =  A )
64 iffalse 3802 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  B ,  C )  =  C )
6562, 63, 64oveq123d 6115 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  ( A  .X.  C
) )
66 iffalse 3802 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) )  =  ( A  .X.  C ) )
6765, 66eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
) )
6858, 67pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
)
6920adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  R  e.  V )
7021adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  S  e.  W )
71 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  k  e.  2o )
72 xpscfv 14503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S
) )
7473fveq2d 5698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( .s
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
75 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  A  =  A )
763adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  B  e.  X )
774adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  C  e.  Y )
78 xpscfv 14503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )
7976, 77, 71, 78syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { B }  +c  { C } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  B ,  C
) )
8074, 75, 79oveq123d 6115 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) )  =  ( A ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) ) )
81 xpsvsca.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  B
)  e.  X )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A 
.x.  B )  e.  X )
83 xpsvsca.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  C
)  e.  Y )
8483adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A 
.X.  C )  e.  Y )
85 xpscfv 14503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) ) )
8682, 84, 71, 85syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { ( A 
.x.  B ) }  +c  { ( A 
.X.  C ) } ) `  k )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A 
.x.  B ) ,  ( A  .X.  C
) ) )
8768, 80, 863eqtr4a 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) )  =  ( `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) `  k ) )
8887mpteq2dva 4381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  2o  |->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) `  k ) ) )
89 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
9033a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
91 2on 6931 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
9291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
93 xpscfn 14500 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
9420, 21, 93syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
9516, 25eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { B }  +c  { C }
)  e.  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
9623, 89, 41, 40, 90, 92, 94, 1, 95prdsvscaval 14420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) ) ) )
97 xpscfn 14500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  Fn  2o )
9881, 83, 97syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  Fn  2o )
99 dffn5 5740 . . . . . 6  |-  ( `' ( { ( A 
.x.  B ) }  +c  { ( A 
.X.  C ) } )  Fn  2o  <->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
) ) )
10098, 99sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
) ) )
10188, 96, 1003eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) )
102101fveq2d 5698 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 ( A ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) ) )
103 df-ov 6097 . . . . 5  |-  ( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A 
.X.  C ) )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
1045xpsfval 14508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  -> 
( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A  .X.  C
) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
10581, 83, 104syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A  .X.  C
) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
106103, 105syl5eqr 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
107 opelxpi 4874 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  ->  <. ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
10881, 83, 107syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
109 f1ocnvfv 5988 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. ) )
11011, 108, 109sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. ) )
111106, 110mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
112102, 111eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 ( A ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
11345, 49, 1123eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  <. B ,  C >. )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   _Vcvv 2975   (/)c0 3640   ifcif 3794   {csn 3880   <.cop 3886    e. cmpt 4353   Oncon0 4722    X. cxp 4841   `'ccnv 4842   ran crn 4844    Fn wfn 5416   -->wf 5417   -onto->wfo 5419   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    e. cmpt2 6096   2oc2o 6917    +c ccda 8339   Basecbs 14177  Scalarcsca 14244   .scvsca 14245   X_scprds 14387    X.s cxps 14447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-fz 11441  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-hom 14265  df-cco 14266  df-prds 14389  df-imas 14449  df-xps 14451
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator