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Theorem xpsvsca 14502
Description: Value of the scalar multiplication function in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpssca.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpssca.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
xpssca.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpssca.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsvsca.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsvsca.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsvsca.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
xpsvsca.m  |-  .x.  =  ( .s `  R )
xpsvsca.n  |-  .X.  =  ( .s `  S )
xpsvsca.p  |-  .xb  =  ( .s `  T )
xpsvsca.3  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
xpsvsca.4  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
xpsvsca.5  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
xpsvsca.6  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  B
)  e.  X )
xpsvsca.7  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  C
)  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
xpsvsca  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  <. B ,  C >. )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )

Proof of Theorem xpsvsca
Dummy variables  k 
a  x  y  c  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsvsca.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2 df-ov 6085 . . . . 5  |-  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. B ,  C >. )
3 xpsvsca.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
4 xpsvsca.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
5 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
65xpsfval 14490 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y )  ->  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
73, 4, 6syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) C )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
82, 7syl5eqr 2481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C } ) )
9 opelxpi 4860 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y )  -> 
<. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
) )
103, 4, 9syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
) )
115xpsff1o2 14494 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
12 f1of 5631 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
1413ffvelrni 5832 . . . . 5  |-  ( <. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. B ,  C >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1510, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
168, 15eqeltrrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { B }  +c  { C }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
17 xpssca.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  X.s  S )
18 xpsvsca.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  R
)
19 xpsvsca.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  S
)
20 xpssca.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
21 xpssca.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
22 xpssca.g . . . . 5  |-  G  =  (Scalar `  R )
23 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )
2417, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpsval 14495 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
2517, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23xpslem 14496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
26 f1ocnv 5643 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
2711, 26mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
28 f1ofo 5638 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
30 ovex 6107 . . . . 5  |-  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
32 fvex 5691 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
3322, 32eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
35 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( { R }  +c  { S } )  e.  _V
3635cnvex 6516 . . . . . . 7  |-  `' ( { R }  +c  { S } )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  `' ( { R }  +c  { S }
)  e.  _V )
3823, 34, 37prdssca 14379 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G  =  (Scalar `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3938trud 1373 . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
40 xpsvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  G
)
41 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )  =  ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
42 xpsvsca.p . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  T )
4327f1ovscpbl 14449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  K  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b
)  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
a ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) b ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 ( a ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) c ) ) ) )
4424, 25, 29, 31, 39, 40, 41, 42, 43imasvscaval 14461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  K  /\  `' ( { B }  +c  { C } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  -> 
( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( A ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) ) )
451, 16, 44mpd3an23 1311 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( A ( .s `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) ) )
46 f1ocnvfv 5974 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. B ,  C >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  <. B ,  C >. ) )
4711, 10, 46sylancr 658 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. B ,  C >. )  =  `' ( { B }  +c  { C } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) )  = 
<. B ,  C >. ) )
488, 47mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) )  = 
<. B ,  C >. )
4948oveq2d 6098 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( A  .xb  <. B ,  C >. ) )
50 iftrue 3787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  R ,  S )  =  R )
5150fveq2d 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  (/)  ->  ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  =  ( .s `  R
) )
52 xpsvsca.m . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  R )
5351, 52syl6eqr 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  = 
.x.  )
54 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  A  =  A )
55 iftrue 3787 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  B ,  C )  =  B )
5653, 54, 55oveq123d 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  ( A  .x.  B
) )
57 iftrue 3787 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) )  =  ( A  .x.  B
) )
5856, 57eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
) )
59 iffalse 3789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  R ,  S )  =  S )
6059fveq2d 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  =  ( .s `  S
) )
61 xpsvsca.n . . . . . . . . . . 11  |-  .X.  =  ( .s `  S )
6260, 61syl6eqr 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )  = 
.X.  )
63 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  A  =  A )
64 iffalse 3789 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  B ,  C )  =  C )
6562, 63, 64oveq123d 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  ( A  .X.  C
) )
66 iffalse 3789 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) )  =  ( A  .X.  C ) )
6765, 66eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  (/)  ->  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
) )
6858, 67pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( A ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C )
)
6920adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  R  e.  V )
7021adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  S  e.  W )
71 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  k  e.  2o )
72 xpscfv 14485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S
) )
7473fveq2d 5685 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( .s
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( .s `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
75 eqidd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  A  =  A )
763adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  B  e.  X )
774adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  C  e.  Y )
78 xpscfv 14485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  Y  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) )
7976, 77, 71, 78syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { B }  +c  { C } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  B ,  C
) )
8074, 75, 79oveq123d 6103 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) )  =  ( A ( .s
`  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) if ( k  =  (/) ,  B ,  C ) ) )
81 xpsvsca.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  B
)  e.  X )
8281adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A 
.x.  B )  e.  X )
83 xpsvsca.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  C
)  e.  Y )
8483adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A 
.X.  C )  e.  Y )
85 xpscfv 14485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) ) )
8682, 84, 71, 85syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { ( A 
.x.  B ) }  +c  { ( A 
.X.  C ) } ) `  k )  =  if ( k  =  (/) ,  ( A 
.x.  B ) ,  ( A  .X.  C
) ) )
8768, 80, 863eqtr4a 2493 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) )  =  ( `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) `  k ) )
8887mpteq2dva 4368 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  2o  |->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) `  k ) ) )
89 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
9033a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
91 2on 6918 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
9291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
93 xpscfn 14482 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
9420, 21, 93syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
9516, 25eleqtrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { B }  +c  { C }
)  e.  ( Base `  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
9623, 89, 41, 40, 90, 92, 94, 1, 95prdsvscaval 14402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( A ( .s `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { B }  +c  { C } ) `  k ) ) ) )
97 xpscfn 14482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  Fn  2o )
9881, 83, 97syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  Fn  2o )
99 dffn5 5727 . . . . . 6  |-  ( `' ( { ( A 
.x.  B ) }  +c  { ( A 
.X.  C ) } )  Fn  2o  <->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
) ) )
10098, 99sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  =  ( k  e.  2o  |->  ( `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) `  k
) ) )
10188, 96, 1003eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( .s
`  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } ) )
102101fveq2d 5685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 ( A ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) ) )
103 df-ov 6085 . . . . 5  |-  ( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A 
.X.  C ) )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
1045xpsfval 14490 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  -> 
( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A  .X.  C
) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
10581, 83, 104syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  B ) ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) ( A  .X.  C
) )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
106103, 105syl5eqr 2481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } ) )
107 opelxpi 4860 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .x.  B
)  e.  X  /\  ( A  .X.  C )  e.  Y )  ->  <. ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
10881, 83, 107syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( A  .x.  B
) ,  ( A 
.X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
109 f1ocnvfv 5974 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C ) } )  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. ) )
11011, 108, 109sylancr 658 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )  =  `' ( { ( A  .x.  B ) }  +c  { ( A  .X.  C
) } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. ) )
111106, 110mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { ( A  .x.  B
) }  +c  {
( A  .X.  C
) } ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
112102, 111eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 ( A ( .s `  ( G
X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { B }  +c  { C } ) ) )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
11345, 49, 1123eqtr3d 2475 1  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  <. B ,  C >. )  =  <. ( A  .x.  B ) ,  ( A  .X.  C ) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1757   _Vcvv 2964   (/)c0 3627   ifcif 3781   {csn 3867   <.cop 3873    e. cmpt 4340   Oncon0 4708    X. cxp 4827   `'ccnv 4828   ran crn 4830    Fn wfn 5403   -->wf 5404   -onto->wfo 5406   -1-1-onto->wf1o 5407   ` cfv 5408  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   2oc2o 6904    +c ccda 8326   Basecbs 14159  Scalarcsca 14226   .scvsca 14227   X_scprds 14369    X.s cxps 14429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-2o 6911  df-oadd 6914  df-er 7091  df-map 7206  df-ixp 7254  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-sup 7681  df-cda 8327  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-z 10637  df-dec 10746  df-uz 10852  df-fz 11427  df-struct 14161  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-plusg 14236  df-mulr 14237  df-sca 14239  df-vsca 14240  df-ip 14241  df-tset 14242  df-ple 14243  df-ds 14245  df-hom 14247  df-cco 14248  df-prds 14371  df-imas 14431  df-xps 14433
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