MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstps Structured version   Unicode version

Theorem xpstps 19383
Description: A binary product of topologies is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpstps.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpstps  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  T  e.  TopSp )

Proof of Theorem xpstps
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpstps.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  R  e.  TopSp )
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  S  e.  TopSp )
6 eqid 2443 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2443 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2443 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 14510 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 14511 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
116xpsff1o2 14509 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
13 f1ocnv 5653 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
14 f1ofo 5648 . . 3  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
1512, 13, 143syl 20 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
16 fvex 5701 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
18 2on 6928 . . . 4  |-  2o  e.  On
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  2o  e.  On )
20 xpscf 14504 . . . 4  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> TopSp  <->  ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp
) )
2120biimpri 206 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> TopSp )
228, 17, 19, 21prdstps 19202 . 2  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  TopSp )
239, 10, 15, 22imastps 19294 1  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  T  e.  TopSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   {csn 3877   Oncon0 4719    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   ran crn 4841   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   2oc2o 6914    +c ccda 8336   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   X_scprds 14384    X.s cxps 14444   TopSpctps 18501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator