MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopn Structured version   Unicode version

Theorem xpstopn 20183
Description: The topology on a binary product of topological spaces, as we have defined it (transferring the indexed product topology on functions on  { (/) ,  1o } to  ( X  X.  Y
) by the canonical bijection), coincides with the usual topological product (generated by a base of rectangles). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpstopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
xpstopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
xpstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
Assertion
Ref Expression
xpstopn  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )

Proof of Theorem xpstopn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpstps.t . 2  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 xpstopn.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
3 xpstopn.k . 2  |-  K  =  ( TopOpen `  S )
4 xpstopn.o . 2  |-  O  =  ( TopOpen `  T )
5 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
7 eqid 2441 . 2  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7xpstopnlem2 20182 1  |-  ( ( R  e.  TopSp  /\  S  e.  TopSp )  ->  O  =  ( J  tX  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   {csn 4011   `'ccnv 4985   ` cfv 5575  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280    +c ccda 8547   Basecbs 14506   TopOpenctopn 14693    X.s cxps 14777   TopSpctps 19267    tX ctx 19931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fi 7870  df-sup 7900  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-topsp 19273  df-cn 19598  df-cnp 19599  df-tx 19933  df-hmeo 20126
This theorem is referenced by:  tmsxpsmopn  20910
  Copyright terms: Public domain W3C validator