Theorem xpsspw 4093

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments.

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- (A X. B) C_ ~P~P(A u. B)

Proof of Theorem xpsspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4088	. 2 |- Rel (A X. B)
2		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
3	2	opelxp 4036	. . 3 |- (<.x, y>. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
4		snssi 3129	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> {x} C_ A)
5		ssun3 2769	. . . . . . . 8 |- ({x} C_ A -> {x} C_ (A u. B))
6	4, 5	syl 12	. . . . . . 7 |- (x e. A -> {x} C_ (A u. B))
7		snex 3492	. . . . . . . 8 |- {x} e. _V
8	7	elpw 3037	. . . . . . 7 |- ({x} e. ~P(A u. B) <-> {x} C_ (A u. B))
9	6, 8	sylibr 217	. . . . . 6 |- (x e. A -> {x} e. ~P(A u. B))
10	9	adantr 425	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x} e. ~P(A u. B))
11		snssi 3129	. . . . . . . . . 10 |- (y e. B -> {y} C_ B)
12		ssun4 2770	. . . . . . . . . 10 |- ({y} C_ B -> {y} C_ (A u. B))
13	11, 12	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. B -> {y} C_ (A u. B))
14	6, 13	anim12i 360	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} C_ (A u. B) /\ {y} C_ (A u. B)))
15		unss 2780	. . . . . . . 8 |- (({x} C_ (A u. B) /\ {y} C_ (A u. B)) <-> ({x} u. {y}) C_ (A u. B))
16	14, 15	sylib 215	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} u. {y}) C_ (A u. B))
17		df-pr 3050	. . . . . . 7 |- {x, y} = ({x} u. {y})
18	16, 17	syl5ss 2661	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} C_ (A u. B))
19		zfpair2 3525	. . . . . . 7 |- {x, y} e. _V
20	19	elpw 3037	. . . . . 6 |- ({x, y} e. ~P(A u. B) <-> {x, y} C_ (A u. B))
21	18, 20	sylibr 217	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. ~P(A u. B))
22	10, 21	jca 310	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} e. ~P(A u. B) /\ {x, y} e. ~P(A u. B)))
23		prex 3526	. . . . . 6 |- {{x}, {x, y}} e. _V
24	23	elpw 3037	. . . . 5 |- ({{x}, {x, y}} e. ~P~P(A u. B) <-> {{x}, {x, y}} C_ ~P(A u. B))
25		df-op 3053	. . . . . 6 |- <.x, y>. = {{x}, {x, y}}
26	25	eleq1i 1960	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. ~P~P(A u. B) <-> {{x}, {x, y}} e. ~P~P(A u. B))
27	7, 19	prss 3138	. . . . 5 |- (({x} e. ~P(A u. B) /\ {x, y} e. ~P(A u. B)) <-> {{x}, {x, y}} C_ ~P(A u. B))
28	24, 26, 27	3bitr4ri 201	. . . 4 |- (({x} e. ~P(A u. B) /\ {x, y} e. ~P(A u. B)) <-> <.x, y>. e. ~P~P(A u. B))
29	22, 28	sylib 215	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. B) -> <.x, y>. e. ~P~P(A u. B))
30	3, 29	sylbi 216	. 2 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> <.x, y>. e. ~P~P(A u. B))
31	1, 30	relssi 4078	1 |- (A X. B) C_ ~P~P(A u. B)

Syntax hints:   /\ wa 240   e. wcel 1300   u. cun 2591   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044  {cpr 3045  <.cop 3046   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  unixpss 4094  xpexg 4095  rankxpu 5822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain