MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsspw Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xpsspw 4970
Description: A Cartesian product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpsspw  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )

Proof of Theorem xpsspw
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4964 . 2  |-  Rel  ( A  X.  B )
2 opelxp 4886 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
3 snssi 4129 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  A )
4 ssun3 3611 . . . . . . . 8  |-  ( { x }  C_  A  ->  { x }  C_  ( A  u.  B
) )
53, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  ( A  u.  B ) )
6 snex 4658 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
76elpw 3969 . . . . . . 7  |-  ( { x }  e.  ~P ( A  u.  B
)  <->  { x }  C_  ( A  u.  B
) )
85, 7sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  e.  ~P ( A  u.  B )
)
98adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x }  e.  ~P ( A  u.  B
) )
10 df-pr 3983 . . . . . . 7  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
11 snssi 4129 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  C_  B )
12 ssun4 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y }  C_  B  ->  { y }  C_  ( A  u.  B
) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  C_  ( A  u.  B ) )
145, 13anim12i 574 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  C_  ( A  u.  B
)  /\  { y }  C_  ( A  u.  B ) ) )
15 unss 3620 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x }  C_  ( A  u.  B
)  /\  { y }  C_  ( A  u.  B ) )  <->  ( {
x }  u.  {
y } )  C_  ( A  u.  B
) )
1614, 15sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  ( A  u.  B ) )
1710, 16syl5eqss 3488 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B ) )
18 zfpair2 4657 . . . . . . 7  |-  { x ,  y }  e.  _V
1918elpw 3969 . . . . . 6  |-  ( { x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B )  <->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B
) )
2017, 19sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B )
)
219, 20jca 539 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  e.  ~P ( A  u.  B )  /\  {
x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B ) ) )
22 prex 4659 . . . . . 6  |-  { {
x } ,  {
x ,  y } }  e.  _V
2322elpw 3969 . . . . 5  |-  ( { { x } ,  { x ,  y } }  e.  ~P ~P ( A  u.  B
)  <->  { { x } ,  { x ,  y } }  C_  ~P ( A  u.  B
) )
24 vex 3060 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
25 vex 3060 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
2624, 25dfop 4179 . . . . . 6  |-  <. x ,  y >.  =  { { x } ,  { x ,  y } }
2726eleq1i 2531 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~P ~P ( A  u.  B )  <->  { { x } ,  { x ,  y } }  e.  ~P ~P ( A  u.  B ) )
286, 18prss 4139 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  ~P ( A  u.  B
)  /\  { x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B
) )  <->  { { x } ,  { x ,  y } }  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
2923, 27, 283bitr4ri 286 . . . 4  |-  ( ( { x }  e.  ~P ( A  u.  B
)  /\  { x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B
) )  <->  <. x ,  y >.  e.  ~P ~P ( A  u.  B
) )
3021, 29sylib 201 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ~P ~P ( A  u.  B ) )
312, 30sylbi 200 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ~P ~P ( A  u.  B
) )
321, 31relssi 4948 1  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 375    e. wcel 1898    u. cun 3414    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   {csn 3980   {cpr 3982   <.cop 3986    X. cxp 4854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-opab 4478  df-xp 4862  df-rel 4863
This theorem is referenced by:  unixpss  4971  xpexg  6625  rankxpu  8378  wunxp  9180  gruxp  9263
  Copyright terms: Public domain W3C validator