MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsspw Structured version   Unicode version

Theorem xpsspw 5114
Description: A Cartesian product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpsspw  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )

Proof of Theorem xpsspw
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 5015 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
2 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3dfop 4212 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =  { { x } ,  { x ,  y } }
5 snssi 4171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  A )
6 ssun3 3669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x }  C_  A  ->  { x }  C_  ( A  u.  B
) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  ( A  u.  B ) )
87adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x }  C_  ( A  u.  B
) )
9 sseq1 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { x }  ->  ( z  C_  ( A  u.  B )  <->  { x }  C_  ( A  u.  B )
) )
108, 9syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  =  {
x }  ->  z  C_  ( A  u.  B
) ) )
11 df-pr 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
12 snssi 4171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  C_  B )
13 ssun4 3670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y }  C_  B  ->  { y }  C_  ( A  u.  B
) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  C_  ( A  u.  B ) )
157, 14anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  C_  ( A  u.  B
)  /\  { y }  C_  ( A  u.  B ) ) )
16 unss 3678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x }  C_  ( A  u.  B
)  /\  { y }  C_  ( A  u.  B ) )  <->  ( {
x }  u.  {
y } )  C_  ( A  u.  B
) )
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  ( A  u.  B ) )
1811, 17syl5eqss 3548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B ) )
19 sseq1 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { x ,  y }  ->  (
z  C_  ( A  u.  B )  <->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B
) ) )
2018, 19syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  =  {
x ,  y }  ->  z  C_  ( A  u.  B )
) )
2110, 20jaod 380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  =  { x }  \/  z  =  { x ,  y } )  ->  z  C_  ( A  u.  B )
) )
22 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2322elpr 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { { x } ,  { x ,  y } }  <->  ( z  =  { x }  \/  z  =  { x ,  y } ) )
24 selpw 4017 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P ( A  u.  B )  <->  z  C_  ( A  u.  B
) )
2521, 23, 243imtr4g 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  { { x } ,  { x ,  y } }  ->  z  e.  ~P ( A  u.  B ) ) )
2625ssrdv 3510 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { { x } ,  { x ,  y } }  C_  ~P ( A  u.  B
) )
274, 26syl5eqss 3548 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  -> 
<. x ,  y >.  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
28 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  C_  ~P ( A  u.  B
)  <->  <. x ,  y
>.  C_  ~P ( A  u.  B ) ) )
2928biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  C_  ~P ( A  u.  B
) )  ->  z  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
3027, 29sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  z  C_  ~P ( A  u.  B
) )
3130exlimivv 1699 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  z  C_  ~P ( A  u.  B
) )
321, 31syl 16 . . 3  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  z  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
33 selpw 4017 . . 3  |-  ( z  e.  ~P ~P ( A  u.  B )  <->  z 
C_  ~P ( A  u.  B ) )
3432, 33sylibr 212 . 2  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  z  e.  ~P ~P ( A  u.  B ) )
3534ssriv 3508 1  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    u. cun 3474    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033    X. cxp 4997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-opab 4506  df-xp 5005
This theorem is referenced by:  unixpss  5116  xpexg  6709  rankxpu  8290  wunxp  9098  gruxp  9181
  Copyright terms: Public domain W3C validator