Theorem xpss12 4089

Description: Subset theorem for cross product. Generalization of Theorem 101 of [Suppes] p. 52. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
xpss12	|- ((A C_ B /\ C C_ D) -> (A X. C) C_ (B X. D))

Proof of Theorem xpss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4088	. . 3 |- Rel (A X. C)
2	1	a1i 8	. 2 |- ((A C_ B /\ C C_ D) -> Rel (A X. C))
3		ssel 2615	. . . 4 |- (A C_ B -> (x e. A -> x e. B))
4		ssel 2615	. . . 4 |- (C C_ D -> (y e. C -> y e. D))
5	3, 4	im2anan9 622	. . 3 |- ((A C_ B /\ C C_ D) -> ((x e. A /\ y e. C) -> (x e. B /\ y e. D)))
6		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
7	6	opelxp 4036	. . 3 |- (<.x, y>. e. (A X. C) <-> (x e. A /\ y e. C))
8	6	opelxp 4036	. . 3 |- (<.x, y>. e. (B X. D) <-> (x e. B /\ y e. D))
9	5, 7, 8	3imtr4g 612	. 2 |- ((A C_ B /\ C C_ D) -> (<.x, y>. e. (A X. C) -> <.x, y>. e. (B X. D)))
10	2, 9	relssdv 4079	1 |- ((A C_ B /\ C C_ D) -> (A X. C) C_ (B X. D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  xpss1 4091  xpss2 4092  ssres2OLD 4241  ssxpb 4346  ssrnres 4354  relrelss 4417  coexg 4429  fssxp 4575  fssxpOLD 4576  funssxp 4577  oprabss 4935  xpdom3 5504  dmaddpi 6170  dmmulpi 6171  axresscnOLD 6421  mulnzcnopr 6891  climuz0i 8368  xpnnen 8768  infxpidmlem7 8827  txuni 8935  metreslem 9099  cncfmet 9183  remetba 9187  lmbrf 9208  iscauf 9217  iscau5 9219  iscaunns 9222  lmsslem 9230  caussi 9232  lmclimnn 9242  resgrprn 9403  issubgi 9431  ghgrpilem4 9444  sspg 9726  ssps 9728  sspmlem 9730  basmetres 10185  subtopmetlem 10255  h2hcau 10481  h2hlm 10482  hhssabli 10765  hhssnv 10767  hhshsslem1 10770  ghomfo 13634  eucalg 13755  residcp 14392  svs2 14829  difxp 15690  stioo 15845  iccst 15875  oprpiece1res1 15880  oprpiece1res2 15881  txsubsp 15912  txcld 15914  cnresoprab 15915  txmet 15925  heiborlem33 15987  icccmp 16027  exidreslem 16030  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  pcocn 16076  pcohtpylem3 16082  pcopt 16084  pcorevlem 16086  divrngcl 16110  isdivrng2 16111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain