MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsng Structured version   Unicode version

Theorem xpsng 6060
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 5770 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B }
)
21adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B } )
3 fsng 6058 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { A }  X.  { B }
) : { A }
--> { B }  <->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } ) )
42, 3mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027   <.cop 4033    X. cxp 4997   -->wf 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593
This theorem is referenced by:  xpsn  6061  f1o2sn  6062  residpr  6063  fmptsn  6079  mpt2sn  6871  repsw1  12714  s1co  12758  xpscg  14809  xpsc0  14811  xpsc1  14812  psgnsn  16341  ixpsnbasval  17638  mat1dimelbas  18740  mat1dimscm  18744  mat1dimmul  18745  mat1f1o  18747  m1detdiag  18866  pt1hmeo  20042  rngosn3  25104  fmptsnxp  31022  xpprsng  31985  lmod1zr  32175
  Copyright terms: Public domain W3C validator