MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsng Structured version   Unicode version

Theorem xpsng 5988
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 5700 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B }
)
21adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B } )
3 fsng 5986 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { A }  X.  { B }
) : { A }
--> { B }  <->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } ) )
42, 3mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3980   <.cop 3986    X. cxp 4941   -->wf 5517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528
This theorem is referenced by:  xpsn  5989  residpr  5990  fmptsn  6003  repsw1  12534  s1co  12574  xpscg  14610  xpsc0  14612  xpsc1  14613  psgnsn  16140  ixpsnbasval  17408  m1detdiag  18530  pt1hmeo  19506  rngosn3  24060  xpprsng  30862  mpt2sn  30866  f1o2sn  30868  mat1dimelbas  31028  mat1dimscm  31032  mat1dimmul  31033  lmod1zr  31149
  Copyright terms: Public domain W3C validator