MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsng Structured version   Unicode version

Theorem xpsng 5881
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 5594 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B }
)
21adantl 463 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B } )
3 fsng 5879 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { A }  X.  { B }
) : { A }
--> { B }  <->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } ) )
42, 3mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {csn 3874   <.cop 3880    X. cxp 4834   -->wf 5411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422
This theorem is referenced by:  xpsn  5882  residpr  5883  fmptsn  5896  repsw1  12417  s1co  12457  xpscg  14492  xpsc0  14494  xpsc1  14495  ixpsnbasval  17268  pt1hmeo  19338  rngosn3  23848  xpprsng  30643  mpt2sn  30647  f1o2sn  30649  psgnsn  30688  mat1dimelbas  30750  mat1dimscm  30754  mat1dimmul  30755  m1detdiag  30775  lmod1zr  30876
  Copyright terms: Public domain W3C validator