Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsnen Structured version   Unicode version

Theorem xpsnen 7620
 Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton. Proposition 4.22(c) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsnen.1
xpsnen.2
Assertion
Ref Expression
xpsnen

Proof of Theorem xpsnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsnen.1 . . 3
2 snex 4697 . . 3
31, 2xpex 6603 . 2
4 elxp 5025 . . 3
5 inteq 4291 . . . . . . . 8
65inteqd 4293 . . . . . . 7
7 vex 3112 . . . . . . . 8
8 vex 3112 . . . . . . . 8
97, 8op1stb 4726 . . . . . . 7
106, 9syl6eq 2514 . . . . . 6
1110, 7syl6eqel 2553 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
1312exlimivv 1724 . . 3
144, 13sylbi 195 . 2
15 opex 4720 . . 3
1615a1i 11 . 2
17 eqvisset 3117 . . . . 5
18 ancom 450 . . . . . . . . . . 11
19 anass 649 . . . . . . . . . . 11
20 elsn 4046 . . . . . . . . . . . 12
2120anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11
2218, 19, 213bitr3i 275 . . . . . . . . . 10
2322exbii 1668 . . . . . . . . 9
24 xpsnen.2 . . . . . . . . . 10
25 opeq2 4220 . . . . . . . . . . . 12
2625eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
2824, 27ceqsexv 3146 . . . . . . . . 9
29 inteq 4291 . . . . . . . . . . . . . 14
3029inteqd 4293 . . . . . . . . . . . . 13
317, 24op1stb 4726 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31syl6req 2515 . . . . . . . . . . . 12
3332pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . 11
3433anbi1i 695 . . . . . . . . . 10
35 anass 649 . . . . . . . . . 10
3634, 35bitri 249 . . . . . . . . 9
3723, 28, 363bitri 271 . . . . . . . 8
3837exbii 1668 . . . . . . 7
394, 38bitri 249 . . . . . 6
40 opeq1 4219 . . . . . . . . 9
4140eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
42 eleq1 2529 . . . . . . . 8
4341, 42anbi12d 710 . . . . . . 7
4443ceqsexgv 3232 . . . . . 6
4539, 44syl5bb 257 . . . . 5
4617, 45syl 16 . . . 4
4746pm5.32ri 638 . . 3
4832adantr 465 . . . . 5
4948pm4.71i 632 . . . 4
5043pm5.32ri 638 . . . 4
5149, 50bitr2i 250 . . 3
52 ancom 450 . . 3
5347, 51, 523bitri 271 . 2
543, 1, 14, 16, 53en2i 7572 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819  cvv 3109  csn 4032  cop 4038  cint 4288   class class class wbr 4456   cxp 5006   cen 7532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-en 7536 This theorem is referenced by:  xpsneng  7621  endisj  7623  infxpenlem  8408  pm110.643  8574  hashxplem  12494  xpnnenOLD  13954  rexpen  13972  heiborlem3  30471
 Copyright terms: Public domain W3C validator