MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsn Structured version   Unicode version

Theorem xpsn 6058
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsn.1  |-  A  e. 
_V
xpsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
xpsn  |-  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. }

Proof of Theorem xpsn
StepHypRef Expression
1 xpsn.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 xpsn.2 . 2  |-  B  e. 
_V
3 xpsng 6057 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )
41, 2, 3mp2an 672 1  |-  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   {csn 4014   <.cop 4020    X. cxp 4987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585
This theorem is referenced by:  dfmpt  6061  fpar  6889  mapsnconst  7466  ixpsnf1o  7511  cda1dif  8559  infcda1  8576  s1co  12781  xpsc0  14939  xpsc1  14940  mat1f1o  18958  txdis  20111  pt1hmeo  20285  utop2nei  20731  utop3cls  20732  imasdsf1olem  20854  ex-xp  25135  grposn  25195  ablosn  25327  dib0  36766
  Copyright terms: Public domain W3C validator