MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmul Unicode version

Theorem xpsmul 13757
Description: Value of the multiplication operation in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsval.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsval.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsval.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsval.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsadd.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
xpsadd.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
xpsadd.5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
xpsadd.6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
xpsadd.7  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  C
)  e.  X )
xpsadd.8  |-  ( ph  ->  ( B  .X.  D
)  e.  Y )
xpsmul.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
xpsmul.n  |-  .X.  =  ( .r `  S )
xpsmul.p  |-  .xb  =  ( .r `  T )
Assertion
Ref Expression
xpsmul  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.xb  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  .x.  C ) ,  ( B  .X.  D
) >. )

Proof of Theorem xpsmul
Dummy variables  y 
k  c  x  d  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.t . 2  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 xpsval.x . 2  |-  X  =  ( Base `  R
)
3 xpsval.y . 2  |-  Y  =  ( Base `  S
)
4 xpsval.1 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
5 xpsval.2 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
6 xpsadd.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
7 xpsadd.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
8 xpsadd.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
9 xpsadd.6 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
10 xpsadd.7 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  C
)  e.  X )
11 xpsadd.8 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  .X.  D
)  e.  Y )
12 xpsmul.m . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
13 xpsmul.n . 2  |-  .X.  =  ( .r `  S )
14 xpsmul.p . 2  |-  .xb  =  ( .r `  T )
15 eqid 2404 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
16 eqid 2404 . 2  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
1715xpsff1o2 13751 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
18 f1ocnv 5646 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
1917, 18mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
20 f1ofo 5640 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
2219f1ocpbl 13705 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  /\  ( c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  d  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) ) )  ->  (
( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  a )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c )  /\  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  d ) )  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
a ( .r `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) b ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
c ( .r `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) d ) ) ) )
23 eqid 2404 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
241, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpsval 13752 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
251, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpslem 13753 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
26 ovex 6065 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
28 eqid 2404 . . 3  |-  ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( .r `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
2921, 22, 24, 25, 27, 28, 14imasmulval 13715 . 2  |-  ( (
ph  /\  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D } )  e. 
ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( .r `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) ) )
30 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
31 fvex 5701 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
33 2on 6691 . . . 4  |-  2o  e.  On
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  2o  e.  On )
35 simp1 957 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o )
36 simp2 958 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
37 simp3 959 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { C }  +c  { D } )  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3816, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 28prdsmulrval 13652 . 2  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( .r `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( .r `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k ) ) ) )
391, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 29, 38xpsaddlem 13755 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.xb  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  .x.  C ) ,  ( B  .X.  D
) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774   <.cop 3777   Oncon0 4541    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   2oc2o 6677    +c ccda 8003   Basecbs 13424   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   X_scprds 13624    X.s cxps 13687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-imas 13689  df-xps 13691
  Copyright terms: Public domain W3C validator