MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsms Structured version   Unicode version

Theorem xpsms 20090
Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsms.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsms  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  e.  MetSp )

Proof of Theorem xpsms
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsms.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  R  e.  MetSp )
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  S  e.  MetSp )
6 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2438 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2438 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 14502 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 14503 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
116xpsff1o2 14501 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
12 f1ocnv 5648 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
1311, 12mp1i 12 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
14 fvex 5696 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
16 2onn 7071 . . . 4  |-  2o  e.  om
17 nnfi 7495 . . . 4  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1816, 17mp1i 12 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  2o  e.  Fin )
19 xpscf 14496 . . . 4  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp  <->  ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp
) )
2019biimpri 206 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp )
218prdsms 20086 . . 3  |-  ( ( (Scalar `  R )  e.  _V  /\  2o  e.  Fin  /\  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp )  ->  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  MetSp )
2215, 18, 20, 21syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  MetSp )
239, 10, 13, 22imasf1oms 20045 1  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  e.  MetSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   {csn 3872    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   omcom 6471   2oc2o 6906   Fincfn 7302    +c ccda 8328   Basecbs 14166  Scalarcsca 14233   X_scprds 14376    X.s cxps 14436   MetSpcmt 19873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-xms 19875  df-ms 19876
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator