MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsms Structured version   Unicode version

Theorem xpsms 21330
Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsms.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsms  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  e.  MetSp )

Proof of Theorem xpsms
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsms.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 455 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  R  e.  MetSp )
5 simpr 459 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  S  e.  MetSp )
6 eqid 2402 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2402 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2402 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 15186 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 15187 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
116xpsff1o2 15185 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
12 f1ocnv 5811 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
1311, 12mp1i 13 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
14 fvex 5859 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
16 2onn 7326 . . . 4  |-  2o  e.  om
17 nnfi 7748 . . . 4  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1816, 17mp1i 13 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  2o  e.  Fin )
19 xpscf 15180 . . . 4  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp  <->  ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp
) )
2019biimpri 206 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp )
218prdsms 21326 . . 3  |-  ( ( (Scalar `  R )  e.  _V  /\  2o  e.  Fin  /\  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp )  ->  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  MetSp )
2215, 18, 20, 21syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  MetSp )
239, 10, 13, 22imasf1oms 21285 1  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  e.  MetSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   {csn 3972    X. cxp 4821   `'ccnv 4822   ran crn 4824   -->wf 5565   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   omcom 6683   2oc2o 7161   Fincfn 7554    +c ccda 8579   Basecbs 14841  Scalarcsca 14912   X_scprds 15060    X.s cxps 15120   MetSpcmt 21113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-xms 21115  df-ms 21116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator