MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsms Structured version   Unicode version

Theorem xpsms 21537
Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsms.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsms  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  e.  MetSp )

Proof of Theorem xpsms
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsms.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2422 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2422 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 458 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  R  e.  MetSp )
5 simpr 462 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  S  e.  MetSp )
6 eqid 2422 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2422 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2422 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 15466 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 15467 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
116xpsff1o2 15465 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
12 f1ocnv 5840 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
1311, 12mp1i 13 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
14 fvex 5888 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
16 2onn 7346 . . . 4  |-  2o  e.  om
17 nnfi 7768 . . . 4  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1816, 17mp1i 13 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  2o  e.  Fin )
19 xpscf 15460 . . . 4  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp  <->  ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp
) )
2019biimpri 209 . . 3  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp )
218prdsms 21533 . . 3  |-  ( ( (Scalar `  R )  e.  _V  /\  2o  e.  Fin  /\  `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> MetSp )  ->  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  MetSp )
2215, 18, 20, 21syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  MetSp )
239, 10, 13, 22imasf1oms 21492 1  |-  ( ( R  e.  MetSp  /\  S  e.  MetSp )  ->  T  e.  MetSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   {csn 3996    X. cxp 4848   `'ccnv 4849   ran crn 4851   -->wf 5594   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    |-> cmpt2 6304   omcom 6703   2oc2o 7181   Fincfn 7574    +c ccda 8598   Basecbs 15109  Scalarcsca 15181   X_scprds 15332    X.s cxps 15393   MetSpcmt 21320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-xms 21322  df-ms 21323
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator