MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmnd Structured version   Unicode version

Theorem xpsmnd 15473
Description: The binary product of monoids is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsmnd.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsmnd  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )

Proof of Theorem xpsmnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsmnd.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  R  e.  Mnd )
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  S  e.  Mnd )
6 eqid 2443 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2443 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2443 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 14522 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
106xpsff1o2 14521 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 14523 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
12 f1oeq3 5646 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1410, 13mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) -1-1-onto-> ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
15 f1ocnv 5665 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
16 f1of1 5652 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) -1-1-onto-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
1714, 15, 163syl 20 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
18 2on 6940 . . . . 5  |-  2o  e.  On
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  2o  e.  On )
20 fvex 5713 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
22 xpscf 14516 . . . . 5  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> Mnd  <->  ( R  e.  Mnd  /\  S  e. 
Mnd ) )
2322biimpri 206 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
) : 2o --> Mnd )
248, 19, 21, 23prdsmndd 15466 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  Mnd )
25 eqid 2443 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
26 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
2725, 26imasmndf1 15472 . . 3  |-  ( ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  /\  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
2817, 24, 27syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
299, 28eqeltrd 2517 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984   {csn 3889   Oncon0 4731    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   ran crn 4853   -->wf 5426   -1-1->wf1 5427   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105   2oc2o 6926    +c ccda 8348   Basecbs 14186  Scalarcsca 14253   X_scprds 14396    "s cimas 14454    X.s cxps 14456   Mndcmnd 15421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-hom 14274  df-cco 14275  df-0g 14392  df-prds 14398  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mnd 15427
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator