MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmnd Structured version   Unicode version

Theorem xpsmnd 16159
Description: The binary product of monoids is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsmnd.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsmnd  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )

Proof of Theorem xpsmnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsmnd.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 455 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  R  e.  Mnd )
5 simpr 459 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  S  e.  Mnd )
6 eqid 2454 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2454 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 15061 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
106xpsff1o2 15060 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 15062 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
12 f1oeq3 5791 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1410, 13mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) -1-1-onto-> ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
15 f1ocnv 5810 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
16 f1of1 5797 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) -1-1-onto-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
1714, 15, 163syl 20 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
18 2on 7130 . . . . 5  |-  2o  e.  On
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  2o  e.  On )
20 fvex 5858 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
22 xpscf 15055 . . . . 5  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> Mnd  <->  ( R  e.  Mnd  /\  S  e. 
Mnd ) )
2322biimpri 206 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
) : 2o --> Mnd )
248, 19, 21, 23prdsmndd 16152 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  Mnd )
25 eqid 2454 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
26 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
2725, 26imasmndf1 16158 . . 3  |-  ( ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  /\  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
2817, 24, 27syl2anc 659 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
299, 28eqeltrd 2542 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   {csn 4016   Oncon0 4867    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   ran crn 4989   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   2oc2o 7116    +c ccda 8538   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   X_scprds 14935    "s cimas 14993    X.s cxps 14995   Mndcmnd 16118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-prds 14937  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator