MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmnd Unicode version

Theorem xpsmnd 14690
Description: The binary product of monoids is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsmnd.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsmnd  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )

Proof of Theorem xpsmnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsmnd.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 444 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  R  e.  Mnd )
5 simpr 448 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  S  e.  Mnd )
6 eqid 2404 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2404 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2404 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 13752 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
106xpsff1o2 13751 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 13753 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
12 f1oeq3 5626 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1410, 13mpbii 203 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) -1-1-onto-> ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
15 f1ocnv 5646 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
16 f1of1 5632 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) -1-1-onto-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
1714, 15, 163syl 19 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
18 2on 6691 . . . . 5  |-  2o  e.  On
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  2o  e.  On )
20 fvex 5701 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
22 xpscf 13746 . . . . 5  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> Mnd  <->  ( R  e.  Mnd  /\  S  e. 
Mnd ) )
2322biimpri 198 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
) : 2o --> Mnd )
248, 19, 21, 23prdsmndd 14683 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  Mnd )
25 eqid 2404 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
26 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
2725, 26imasmndf1 14689 . . 3  |-  ( ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  /\  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
2817, 24, 27syl2anc 643 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
299, 28eqeltrd 2478 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774   Oncon0 4541    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   2oc2o 6677    +c ccda 8003   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   X_scprds 13624    "s cimas 13685    X.s cxps 13687   Mndcmnd 14639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-0g 13682  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mnd 14645
  Copyright terms: Public domain W3C validator