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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xpsmet | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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xpsds.t |
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xpsds.x |
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xpsds.y |
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xpsds.1 |
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xpsds.2 |
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xpsds.p |
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xpsds.m |
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xpsds.n |
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xpsmet.3 |
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xpsmet.4 |
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Ref | Expression |
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xpsmet |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xpsds.t |
. . 3
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2 | xpsds.x |
. . 3
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3 | xpsds.y |
. . 3
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4 | xpsds.1 |
. . 3
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5 | xpsds.2 |
. . 3
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6 | eqid 2471 |
. . 3
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7 | eqid 2471 |
. . 3
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8 | eqid 2471 |
. . 3
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9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | xpsval 15556 |
. 2
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10 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | xpslem 15557 |
. 2
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11 | 6 | xpsff1o2 15555 |
. . 3
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12 | f1ocnv 5840 |
. . 3
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13 | 11, 12 | mp1i 13 |
. 2
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14 | ovex 6336 |
. . 3
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15 | 14 | a1i 11 |
. 2
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16 | eqid 2471 |
. 2
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17 | xpsds.p |
. 2
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18 | eqid 2471 |
. . . . 5
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19 | eqid 2471 |
. . . . 5
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20 | eqid 2471 |
. . . . 5
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21 | eqid 2471 |
. . . . 5
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22 | eqid 2471 |
. . . . 5
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23 | fvex 5889 |
. . . . . 6
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24 | 23 | a1i 11 |
. . . . 5
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25 | 2onn 7359 |
. . . . . 6
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26 | nnfi 7783 |
. . . . . 6
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27 | 25, 26 | mp1i 13 |
. . . . 5
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28 | fvex 5889 |
. . . . . 6
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29 | 28 | a1i 11 |
. . . . 5
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30 | elpri 3976 |
. . . . . . 7
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31 | df2o3 7213 |
. . . . . . 7
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32 | 30, 31 | eleq2s 2567 |
. . . . . 6
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33 | xpsmet.3 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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35 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | xpsc0 15544 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 4, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 35, 37 | sylan9eqr 2527 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 38 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40, 2 | syl6eqr 2523 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | sqxpeqd 4865 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 39, 42 | reseq12d 5112 |
. . . . . . . . 9
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44 | xpsds.m |
. . . . . . . . 9
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45 | 43, 44 | syl6eqr 2523 |
. . . . . . . 8
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46 | 41 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . 8
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47 | 34, 45, 46 | 3eltr4d 2564 |
. . . . . . 7
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48 | xpsmet.4 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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50 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | xpsc1 15545 |
. . . . . . . . . . . . 13
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52 | 5, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 50, 52 | sylan9eqr 2527 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 53 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 53 | fveq2d 5883 |
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56 | 55, 3 | syl6eqr 2523 |
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75 | 65, 71, 74 | 3eltr4d 2564 |
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78 | 75, 76, 77 | sylancl 675 |
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79 | 9, 10, 13, 15, 16, 17, 78 | imasf1omet 21469 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-inf2 8164 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-se 4799 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-isom 5598 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-of 6550 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-supp 6934 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-er 7381 df-map 7492 df-ixp 7541 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-fsupp 7902 df-sup 7974 df-inf 7975 df-oi 8043 df-card 8391 df-cda 8616 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-4 10692 df-5 10693 df-6 10694 df-7 10695 df-8 10696 df-9 10697 df-10 10698 df-n0 10894 df-z 10962 df-dec 11075 df-uz 11183 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-icc 11667 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-seq 12252 df-hash 12554 df-struct 15201 df-ndx 15202 df-slot 15203 df-base 15204 df-sets 15205 df-ress 15206 df-plusg 15281 df-mulr 15282 df-sca 15284 df-vsca 15285 df-ip 15286 df-tset 15287 df-ple 15288 df-ds 15290 df-hom 15292 df-cco 15293 df-0g 15418 df-gsum 15419 df-prds 15424 df-xrs 15478 df-imas 15485 df-xps 15488 df-mre 15570 df-mrc 15571 df-acs 15573 df-mgm 16566 df-sgrp 16605 df-mnd 16615 df-submnd 16661 df-mulg 16754 df-cntz 17049 df-cmn 17510 df-xmet 19040 df-met 19041 |
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