Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmet Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xpsmet 21475
 Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t s
xpsds.x
xpsds.y
xpsds.1
xpsds.2
xpsds.p
xpsds.m
xpsds.n
xpsmet.3
xpsmet.4
Assertion
Ref Expression
xpsmet

Proof of Theorem xpsmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 s
2 xpsds.x . . 3
3 xpsds.y . . 3
4 xpsds.1 . . 3
5 xpsds.2 . . 3
6 eqid 2471 . . 3
7 eqid 2471 . . 3 Scalar Scalar
8 eqid 2471 . . 3 Scalars Scalars
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 15556 . 2 s Scalars
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 15557 . 2 Scalars
116xpsff1o2 15555 . . 3
12 f1ocnv 5840 . . 3
1311, 12mp1i 13 . 2
14 ovex 6336 . . 3 Scalars
1514a1i 11 . 2 Scalars
16 eqid 2471 . 2 Scalars Scalars
17 xpsds.p . 2
18 eqid 2471 . . . . 5 Scalars Scalars
19 eqid 2471 . . . . 5 Scalars Scalars
20 eqid 2471 . . . . 5
21 eqid 2471 . . . . 5
22 eqid 2471 . . . . 5 Scalars Scalars
23 fvex 5889 . . . . . 6 Scalar
2423a1i 11 . . . . 5 Scalar
25 2onn 7359 . . . . . 6
26 nnfi 7783 . . . . . 6
2725, 26mp1i 13 . . . . 5
28 fvex 5889 . . . . . 6
2928a1i 11 . . . . 5
30 elpri 3976 . . . . . . 7
31 df2o3 7213 . . . . . . 7
3230, 31eleq2s 2567 . . . . . 6
33 xpsmet.3 . . . . . . . . 9
3433adantr 472 . . . . . . . 8
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
36 xpsc0 15544 . . . . . . . . . . . . 13
374, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12
3835, 37sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11
3938fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
4038fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
4140, 2syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . 11
4241sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . 10
4339, 42reseq12d 5112 . . . . . . . . 9
44 xpsds.m . . . . . . . . 9
4543, 44syl6eqr 2523 . . . . . . . 8
4641fveq2d 5883 . . . . . . . 8
4734, 45, 463eltr4d 2564 . . . . . . 7
48 xpsmet.4 . . . . . . . . 9
4948adantr 472 . . . . . . . 8
50 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
51 xpsc1 15545 . . . . . . . . . . . . 13
525, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5350, 52sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11
5453fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
5553fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
5655, 3syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . 11
5756sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . 10
5854, 57reseq12d 5112 . . . . . . . . 9
59 xpsds.n . . . . . . . . 9
6058, 59syl6eqr 2523 . . . . . . . 8
6156fveq2d 5883 . . . . . . . 8
6249, 60, 613eltr4d 2564 . . . . . . 7
6347, 62jaodan 802 . . . . . 6
6432, 63sylan2 482 . . . . 5
6518, 19, 20, 21, 22, 24, 27, 29, 64prdsmet 21463 . . . 4 Scalars Scalars
66 xpscfn 15543 . . . . . . . 8
674, 5, 66syl2anc 673 . . . . . . 7
68 dffn5 5924 . . . . . . 7
6967, 68sylib 201 . . . . . 6
7069oveq2d 6324 . . . . 5 Scalars Scalars
7170fveq2d 5883 . . . 4 Scalars Scalars
7270fveq2d 5883 . . . . . 6 Scalars Scalars
7310, 72eqtrd 2505 . . . . 5 Scalars
7473fveq2d 5883 . . . 4 Scalars
7565, 71, 743eltr4d 2564 . . 3 Scalars
76 ssid 3437 . . 3
77 metres2 21456 . . 3 Scalars Scalars
7875, 76, 77sylancl 675 . 2 Scalars
799, 10, 13, 15, 16, 17, 78imasf1omet 21469 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cpr 3961   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   crn 4840   cres 4841   wfn 5584  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  com 6711  c1o 7193  c2o 7194  cfn 7587   ccda 8615  cbs 15199  Scalarcsca 15271  cds 15277  scprds 15422   s cxps 15483  cme 19033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-xmet 19040  df-met 19041 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator