MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpslem Structured version   Unicode version

Theorem xpslem 14828
Description: The indexed structure product that appears in xpsval 14827 has the same base as the target of the function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsval.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsval.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsval.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsval.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsval.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
xpsval.k  |-  G  =  (Scalar `  R )
xpsval.u  |-  U  =  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )
Assertion
Ref Expression
xpslem  |-  ( ph  ->  ran  F  =  (
Base `  U )
)
Distinct variable groups:    x, y    x, W    x, X, y   
x, R    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    R( y)    S( x, y)    T( x, y)    U( x, y)    F( x, y)    G( x, y)    V( x, y)    W( y)

Proof of Theorem xpslem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.u . . 3  |-  U  =  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 xpsval.k . . . . 5  |-  G  =  (Scalar `  R )
4 fvex 5876 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
53, 4eqeltri 2551 . . . 4  |-  G  e. 
_V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
7 2on 7138 . . . 4  |-  2o  e.  On
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
9 xpsval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
10 xpsval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
11 xpscfn 14814 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
129, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
131, 2, 6, 8, 12prdsbas2 14724 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  U
)  =  X_ k  e.  2o  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) )
14 xpscfv 14817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )
15143expia 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( k  e.  2o  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
169, 10, 15syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  2o  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
1716imp 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S
) )
1817fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
) )  =  (
Base `  if (
k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
19 xpsval.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  R
)
20 xpsval.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( Base `  S
)
21 ifeq12 3956 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  ( Base `  R )  /\  Y  =  ( Base `  S
) )  ->  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y )  =  if ( k  =  (/) ,  ( Base `  R ) ,  (
Base `  S )
) )
2219, 20, 21mp2an 672 . . . . . 6  |-  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y )  =  if ( k  =  (/) ,  ( Base `  R
) ,  ( Base `  S ) )
23 fvif 5877 . . . . . 6  |-  ( Base `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S
) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( Base `  R
) ,  ( Base `  S ) )
2422, 23eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y )  =  (
Base `  if (
k  =  (/) ,  R ,  S ) )
2518, 24syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
) )  =  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y ) )
2625ixpeq2dva 7484 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  2o  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  = 
X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y ) )
27 xpsval.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
2827xpsfrn 14824 . . 3  |-  ran  F  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y )
2926, 28syl6eqr 2526 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  2o  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ran  F )
3013, 29eqtr2d 2509 1  |-  ( ph  ->  ran  F  =  (
Base `  U )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   Oncon0 4878   `'ccnv 4998   ran crn 5000    Fn wfn 5583   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   2oc2o 7124   X_cixp 7469    +c ccda 8547   Basecbs 14490  Scalarcsca 14558   X_scprds 14701    X.s cxps 14761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-hom 14579  df-cco 14580  df-prds 14703
This theorem is referenced by:  xpsbas  14829  xpsaddlem  14830  xpsadd  14831  xpsmul  14832  xpssca  14833  xpsvsca  14834  xpsless  14835  xpsle  14836  xpsmnd  15779  xpsgrp  15999  xpstps  20074  xpstopnlem2  20075  xpsdsfn  20643  xpsxmetlem  20645  xpsxmet  20646  xpsdsval  20647  xpsmet  20648  xpsxms  20800  xpsms  20801
  Copyright terms: Public domain W3C validator