MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpslem Structured version   Unicode version

Theorem xpslem 14526
Description: The indexed structure product that appears in xpsval 14525 has the same base as the target of the function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsval.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsval.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsval.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsval.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsval.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
xpsval.k  |-  G  =  (Scalar `  R )
xpsval.u  |-  U  =  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )
Assertion
Ref Expression
xpslem  |-  ( ph  ->  ran  F  =  (
Base `  U )
)
Distinct variable groups:    x, y    x, W    x, X, y   
x, R    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    R( y)    S( x, y)    T( x, y)    U( x, y)    F( x, y)    G( x, y)    V( x, y)    W( y)

Proof of Theorem xpslem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.u . . 3  |-  U  =  ( G X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 xpsval.k . . . . 5  |-  G  =  (Scalar `  R )
4 fvex 5716 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
53, 4eqeltri 2513 . . . 4  |-  G  e. 
_V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
7 2on 6943 . . . 4  |-  2o  e.  On
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
9 xpsval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
10 xpsval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
11 xpscfn 14512 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
129, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
131, 2, 6, 8, 12prdsbas2 14422 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  U
)  =  X_ k  e.  2o  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) )
14 xpscfv 14515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) )
15143expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( k  e.  2o  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
169, 10, 15syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  2o  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
1716imp 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  R ,  S
) )
1817fveq2d 5710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
) )  =  (
Base `  if (
k  =  (/) ,  R ,  S ) ) )
19 xpsval.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  R
)
20 xpsval.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( Base `  S
)
21 ifeq12 3821 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  ( Base `  R )  /\  Y  =  ( Base `  S
) )  ->  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y )  =  if ( k  =  (/) ,  ( Base `  R ) ,  (
Base `  S )
) )
2219, 20, 21mp2an 672 . . . . . 6  |-  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y )  =  if ( k  =  (/) ,  ( Base `  R
) ,  ( Base `  S ) )
23 fvif 5717 . . . . . 6  |-  ( Base `  if ( k  =  (/) ,  R ,  S
) )  =  if ( k  =  (/) ,  ( Base `  R
) ,  ( Base `  S ) )
2422, 23eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y )  =  (
Base `  if (
k  =  (/) ,  R ,  S ) )
2518, 24syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  2o )  ->  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k
) )  =  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y ) )
2625ixpeq2dva 7293 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  2o  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  = 
X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y ) )
27 xpsval.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
2827xpsfrn 14522 . . 3  |-  ran  F  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  X ,  Y )
2926, 28syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  2o  ( Base `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ran  F )
3013, 29eqtr2d 2476 1  |-  ( ph  ->  ran  F  =  (
Base `  U )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987   (/)c0 3652   ifcif 3806   {csn 3892   Oncon0 4734   `'ccnv 4854   ran crn 4856    Fn wfn 5428   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    e. cmpt2 6108   2oc2o 6929   X_cixp 7278    +c ccda 8351   Basecbs 14189  Scalarcsca 14256   X_scprds 14399    X.s cxps 14459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-fz 11453  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-hom 14277  df-cco 14278  df-prds 14401
This theorem is referenced by:  xpsbas  14527  xpsaddlem  14528  xpsadd  14529  xpsmul  14530  xpssca  14531  xpsvsca  14532  xpsless  14533  xpsle  14534  xpsmnd  15476  xpsgrp  15689  xpstps  19398  xpstopnlem2  19399  xpsdsfn  19967  xpsxmetlem  19969  xpsxmet  19970  xpsdsval  19971  xpsmet  19972  xpsxms  20124  xpsms  20125
  Copyright terms: Public domain W3C validator