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Theorem xpsle 14519
Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsle.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsle.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsle.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsle.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsle.p  |-  .<_  =  ( le `  T )
xpsle.m  |-  M  =  ( le `  R
)
xpsle.n  |-  N  =  ( le `  S
)
xpsle.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
xpsle.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
xpsle.5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
xpsle.6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
xpsle  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.<_  <. C ,  D >.  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables  c 
d  k  x  y  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6094 . . . . 5  |-  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. A ,  B >. )
2 xpsle.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3 xpsle.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
4 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
54xpsfval 14505 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
62, 3, 5syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
71, 6syl5eqr 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
8 opelxpi 4871 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
) )
92, 3, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
) )
104xpsff1o2 14509 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
11 f1of 5641 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
1312ffvelrni 5842 . . . . 5  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. A ,  B >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
149, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
157, 14eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
16 df-ov 6094 . . . . 5  |-  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. C ,  D >. )
17 xpsle.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
18 xpsle.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
194xpsfval 14505 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  Y )  ->  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
2116, 20syl5eqr 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
22 opelxpi 4871 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  Y )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2317, 18, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2412ffvelrni 5842 . . . . 5  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. C ,  D >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
2621, 25eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
27 xpsle.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  X.s  S )
28 xpsle.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  R
)
29 xpsle.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  S
)
30 xpsle.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
31 xpsle.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
32 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
33 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
3427, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpsval 14510 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3527, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpslem 14511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
36 f1ocnv 5653 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
3710, 36mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
38 f1ofo 5648 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
40 ovex 6116 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
42 xpsle.p . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  T )
43 eqid 2443 . . . 4  |-  ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( le `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
4437f1olecpbl 14465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  /\  ( c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  d  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) ) )  ->  (
( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  a )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c )  /\  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  d ) )  ->  ( a
( le `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) b  <->  c ( le `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) d ) ) )
4534, 35, 39, 41, 42, 43, 44imasleval 14479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D } )  e. 
ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  .<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) )
4615, 26, 45mpd3an23 1316 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) ) 
.<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) )
47 f1ocnvfv 5985 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) )  =  <. A ,  B >. ) )
4810, 9, 47sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  = 
<. A ,  B >. ) )
497, 48mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  = 
<. A ,  B >. )
50 f1ocnvfv 5985 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { C }  +c  { D } ) )  =  <. C ,  D >. ) )
5110, 23, 50sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  = 
<. C ,  D >. ) )
5221, 51mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  = 
<. C ,  D >. )
5349, 52breq12d 4305 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) ) 
.<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  <. A ,  B >.  .<_  <. C ,  D >. ) )
54 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
55 fvex 5701 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
57 2on 6928 . . . . 5  |-  2o  e.  On
5857a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
59 xpscfn 14497 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
6030, 31, 59syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
6115, 35eleqtrd 2519 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
6226, 35eleqtrd 2519 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
6333, 54, 56, 58, 60, 61, 62, 43prdsleval 14415 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } )  <->  A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k ) ) )
64 df2o3 6933 . . . . . 6  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
6564raleqi 2921 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  A. k  e.  { (/) ,  1o } 
( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k
) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k ) )
66 0ex 4422 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
67 1on 6927 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
6867elexi 2982 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
69 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 k )  =  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) )
70 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )
7170fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) )
72 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `
 k )  =  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) ) )
7369, 71, 72breq123d 4306 . . . . . 6  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) ) ) )
74 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )  =  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) )
75 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )  =  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )
7675fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) )
77 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  =  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) )
7874, 76, 77breq123d 4306 . . . . . 6  |-  ( k  =  1o  ->  (
( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k
) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
7966, 68, 73, 78ralpr 3929 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  { (/) ,  1o }  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  <->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
8065, 79bitri 249 . . . 4  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
81 xpsc0 14498 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )
822, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) )  =  A )
83 xpsc0 14498 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  V  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) )  =  R )
8430, 83syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) )  =  R )
8584fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) )  =  ( le `  R ) )
86 xpsle.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( le `  R
)
8785, 86syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) )  =  M )
88 xpsc0 14498 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  X  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  =  C )
8917, 88syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) )  =  C )
9082, 87, 89breq123d 4306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) )  <->  A M C ) )
91 xpsc1 14499 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Y  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )  =  B )
923, 91syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o )  =  B )
93 xpsc1 14499 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  W  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )  =  S )
9431, 93syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o )  =  S )
9594fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
)  =  ( le
`  S ) )
96 xpsle.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( le `  S
)
9795, 96syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
)  =  N )
98 xpsc1 14499 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  Y  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  1o )  =  D )
9918, 98syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o )  =  D )
10092, 97, 99breq123d 4306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o )  <->  B N D ) )
10190, 100anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 (/) ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `
 (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) )  <->  ( A M C  /\  B N D ) ) )
10280, 101syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  <->  ( A M C  /\  B N D ) ) )
10363, 102bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } )  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )
10446, 53, 1033bitr3d 283 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.<_  <. C ,  D >.  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   (/)c0 3637   {csn 3877   {cpr 3879   <.cop 3883   class class class wbr 4292   Oncon0 4719    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   ran crn 4841    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   1oc1o 6913   2oc2o 6914    +c ccda 8336   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   lecple 14245   X_scprds 14384    X.s cxps 14444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-prds 14386  df-imas 14446  df-xps 14448
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