Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsle Structured version   Unicode version

Theorem xpsle 15193
 Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t s
xpsle.x
xpsle.y
xpsle.1
xpsle.2
xpsle.p
xpsle.m
xpsle.n
xpsle.3
xpsle.4
xpsle.5
xpsle.6
Assertion
Ref Expression
xpsle

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6280 . . . . 5
2 xpsle.3 . . . . . 6
3 xpsle.4 . . . . . 6
4 eqid 2402 . . . . . . 7
54xpsfval 15179 . . . . . 6
62, 3, 5syl2anc 659 . . . . 5
71, 6syl5eqr 2457 . . . 4
8 opelxpi 4854 . . . . . 6
92, 3, 8syl2anc 659 . . . . 5
104xpsff1o2 15183 . . . . . . 7
11 f1of 5798 . . . . . . 7
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6
1312ffvelrni 6007 . . . . 5
149, 13syl 17 . . . 4
157, 14eqeltrrd 2491 . . 3
16 df-ov 6280 . . . . 5
17 xpsle.5 . . . . . 6
18 xpsle.6 . . . . . 6
194xpsfval 15179 . . . . . 6
2017, 18, 19syl2anc 659 . . . . 5
2116, 20syl5eqr 2457 . . . 4
22 opelxpi 4854 . . . . . 6
2317, 18, 22syl2anc 659 . . . . 5
2412ffvelrni 6007 . . . . 5
2523, 24syl 17 . . . 4
2621, 25eqeltrrd 2491 . . 3
27 xpsle.t . . . . 5 s
28 xpsle.x . . . . 5
29 xpsle.y . . . . 5
30 xpsle.1 . . . . 5
31 xpsle.2 . . . . 5
32 eqid 2402 . . . . 5 Scalar Scalar
33 eqid 2402 . . . . 5 Scalars Scalars
3427, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpsval 15184 . . . 4 s Scalars
3527, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpslem 15185 . . . 4 Scalars
36 f1ocnv 5810 . . . . . 6
3710, 36mp1i 13 . . . . 5
38 f1ofo 5805 . . . . 5
3937, 38syl 17 . . . 4
40 ovex 6305 . . . . 5 Scalars
4140a1i 11 . . . 4 Scalars
42 xpsle.p . . . 4
43 eqid 2402 . . . 4 Scalars Scalars
4437f1olecpbl 15139 . . . 4 Scalars Scalars
4534, 35, 39, 41, 42, 43, 44imasleval 15153 . . 3 Scalars
4615, 26, 45mpd3an23 1328 . 2 Scalars
47 f1ocnvfv 6164 . . . . 5
4810, 9, 47sylancr 661 . . . 4
497, 48mpd 15 . . 3
50 f1ocnvfv 6164 . . . . 5
5110, 23, 50sylancr 661 . . . 4
5221, 51mpd 15 . . 3
5349, 52breq12d 4407 . 2
54 eqid 2402 . . . 4 Scalars Scalars
55 fvex 5858 . . . . 5 Scalar
5655a1i 11 . . . 4 Scalar
57 2on 7174 . . . . 5
5857a1i 11 . . . 4
59 xpscfn 15171 . . . . 5
6030, 31, 59syl2anc 659 . . . 4
6115, 35eleqtrd 2492 . . . 4 Scalars
6226, 35eleqtrd 2492 . . . 4 Scalars
6333, 54, 56, 58, 60, 61, 62, 43prdsleval 15089 . . 3 Scalars
64 df2o3 7179 . . . . . 6
6564raleqi 3007 . . . . 5
66 0ex 4525 . . . . . 6
67 1on 7173 . . . . . . 7
6867elexi 3068 . . . . . 6
69 fveq2 5848 . . . . . . 7
70 fveq2 5848 . . . . . . . 8
7170fveq2d 5852 . . . . . . 7
72 fveq2 5848 . . . . . . 7
7369, 71, 72breq123d 4408 . . . . . 6
74 fveq2 5848 . . . . . . 7
75 fveq2 5848 . . . . . . . 8
7675fveq2d 5852 . . . . . . 7
77 fveq2 5848 . . . . . . 7
7874, 76, 77breq123d 4408 . . . . . 6
7966, 68, 73, 78ralpr 4024 . . . . 5
8065, 79bitri 249 . . . 4
81 xpsc0 15172 . . . . . . 7
822, 81syl 17 . . . . . 6
83 xpsc0 15172 . . . . . . . . 9
8430, 83syl 17 . . . . . . . 8
8584fveq2d 5852 . . . . . . 7
86 xpsle.m . . . . . . 7
8785, 86syl6eqr 2461 . . . . . 6
88 xpsc0 15172 . . . . . . 7
8917, 88syl 17 . . . . . 6
9082, 87, 89breq123d 4408 . . . . 5
91 xpsc1 15173 . . . . . . 7
923, 91syl 17 . . . . . 6
93 xpsc1 15173 . . . . . . . . 9
9431, 93syl 17 . . . . . . . 8
9594fveq2d 5852 . . . . . . 7
96 xpsle.n . . . . . . 7
9795, 96syl6eqr 2461 . . . . . 6
98 xpsc1 15173 . . . . . . 7
9918, 98syl 17 . . . . . 6
10092, 97, 99breq123d 4408 . . . . 5
10190, 100anbi12d 709 . . . 4
10280, 101syl5bb 257 . . 3
10363, 102bitrd 253 . 2 Scalars
10446, 53, 1033bitr3d 283 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753  cvv 3058  c0 3737  csn 3971  cpr 3973  cop 3977   class class class wbr 4394   cxp 4820  ccnv 4821   crn 4823  con0 5409   wfn 5563  wf 5564  wfo 5566  wf1o 5567  cfv 5568  (class class class)co 6277   cmpt2 6279  c1o 7159  c2o 7160   ccda 8578  cbs 14839  Scalarcsca 14910  cple 14914  scprds 15058   s cxps 15118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-prds 15060  df-imas 15120  df-xps 15122 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator