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Theorem xpsle 15193
Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsle.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsle.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsle.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsle.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsle.p  |-  .<_  =  ( le `  T )
xpsle.m  |-  M  =  ( le `  R
)
xpsle.n  |-  N  =  ( le `  S
)
xpsle.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
xpsle.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
xpsle.5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
xpsle.6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
xpsle  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.<_  <. C ,  D >.  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables  c 
d  k  x  y  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6280 . . . . 5  |-  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. A ,  B >. )
2 xpsle.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3 xpsle.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
4 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
54xpsfval 15179 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
62, 3, 5syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
71, 6syl5eqr 2457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
8 opelxpi 4854 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
) )
92, 3, 8syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
) )
104xpsff1o2 15183 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
11 f1of 5798 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
1312ffvelrni 6007 . . . . 5  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. A ,  B >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
149, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
157, 14eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
16 df-ov 6280 . . . . 5  |-  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. C ,  D >. )
17 xpsle.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
18 xpsle.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
194xpsfval 15179 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  Y )  ->  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
2017, 18, 19syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
2116, 20syl5eqr 2457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
22 opelxpi 4854 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  Y )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2317, 18, 22syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2412ffvelrni 6007 . . . . 5  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. C ,  D >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
2523, 24syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
2621, 25eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
27 xpsle.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  X.s  S )
28 xpsle.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  R
)
29 xpsle.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  S
)
30 xpsle.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
31 xpsle.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
32 eqid 2402 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
33 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
3427, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpsval 15184 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3527, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpslem 15185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
36 f1ocnv 5810 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
3710, 36mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
38 f1ofo 5805 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
3937, 38syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
40 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
42 xpsle.p . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  T )
43 eqid 2402 . . . 4  |-  ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( le `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
4437f1olecpbl 15139 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  /\  ( c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  d  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) ) )  ->  (
( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  a )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c )  /\  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  d ) )  ->  ( a
( le `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) b  <->  c ( le `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) d ) ) )
4534, 35, 39, 41, 42, 43, 44imasleval 15153 . . 3  |-  ( (
ph  /\  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D } )  e. 
ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  .<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) )
4615, 26, 45mpd3an23 1328 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) ) 
.<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) )
47 f1ocnvfv 6164 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) )  =  <. A ,  B >. ) )
4810, 9, 47sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  = 
<. A ,  B >. ) )
497, 48mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  = 
<. A ,  B >. )
50 f1ocnvfv 6164 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { C }  +c  { D } ) )  =  <. C ,  D >. ) )
5110, 23, 50sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  = 
<. C ,  D >. ) )
5221, 51mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  = 
<. C ,  D >. )
5349, 52breq12d 4407 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) ) 
.<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  <. A ,  B >.  .<_  <. C ,  D >. ) )
54 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
55 fvex 5858 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
57 2on 7174 . . . . 5  |-  2o  e.  On
5857a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
59 xpscfn 15171 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
6030, 31, 59syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
6115, 35eleqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
6226, 35eleqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
6333, 54, 56, 58, 60, 61, 62, 43prdsleval 15089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } )  <->  A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k ) ) )
64 df2o3 7179 . . . . . 6  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
6564raleqi 3007 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  A. k  e.  { (/) ,  1o } 
( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k
) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k ) )
66 0ex 4525 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
67 1on 7173 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
6867elexi 3068 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
69 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 k )  =  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) )
70 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )
7170fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) )
72 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `
 k )  =  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) ) )
7369, 71, 72breq123d 4408 . . . . . 6  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) ) ) )
74 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )  =  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) )
75 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )  =  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )
7675fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) )
77 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  =  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) )
7874, 76, 77breq123d 4408 . . . . . 6  |-  ( k  =  1o  ->  (
( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k
) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
7966, 68, 73, 78ralpr 4024 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  { (/) ,  1o }  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  <->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
8065, 79bitri 249 . . . 4  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
81 xpsc0 15172 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )
822, 81syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) )  =  A )
83 xpsc0 15172 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  V  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) )  =  R )
8430, 83syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) )  =  R )
8584fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) )  =  ( le `  R ) )
86 xpsle.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( le `  R
)
8785, 86syl6eqr 2461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) )  =  M )
88 xpsc0 15172 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  X  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  =  C )
8917, 88syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) )  =  C )
9082, 87, 89breq123d 4408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) )  <->  A M C ) )
91 xpsc1 15173 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Y  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )  =  B )
923, 91syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o )  =  B )
93 xpsc1 15173 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  W  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )  =  S )
9431, 93syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o )  =  S )
9594fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
)  =  ( le
`  S ) )
96 xpsle.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( le `  S
)
9795, 96syl6eqr 2461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
)  =  N )
98 xpsc1 15173 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  Y  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  1o )  =  D )
9918, 98syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o )  =  D )
10092, 97, 99breq123d 4408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o )  <->  B N D ) )
10190, 100anbi12d 709 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 (/) ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `
 (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) )  <->  ( A M C  /\  B N D ) ) )
10280, 101syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  <->  ( A M C  /\  B N D ) ) )
10363, 102bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } )  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )
10446, 53, 1033bitr3d 283 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.<_  <. C ,  D >.  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   class class class wbr 4394    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   ran crn 4823   Oncon0 5409    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -onto->wfo 5566   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1oc1o 7159   2oc2o 7160    +c ccda 8578   Basecbs 14839  Scalarcsca 14910   lecple 14914   X_scprds 15058    X.s cxps 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-prds 15060  df-imas 15120  df-xps 15122
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