MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsle Structured version   Unicode version

Theorem xpsle 14515
Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsle.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsle.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsle.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsle.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsle.p  |-  .<_  =  ( le `  T )
xpsle.m  |-  M  =  ( le `  R
)
xpsle.n  |-  N  =  ( le `  S
)
xpsle.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
xpsle.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
xpsle.5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
xpsle.6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
xpsle  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.<_  <. C ,  D >.  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables  c 
d  k  x  y  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6093 . . . . 5  |-  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. A ,  B >. )
2 xpsle.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3 xpsle.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
4 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
54xpsfval 14501 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
62, 3, 5syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) B )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
71, 6syl5eqr 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B } ) )
8 opelxpi 4867 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
) )
92, 3, 8syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
) )
104xpsff1o2 14505 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
11 f1of 5638 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) --> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
1312ffvelrni 5839 . . . . 5  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. A ,  B >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
149, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
157, 14eqeltrrd 2516 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
16 df-ov 6093 . . . . 5  |-  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. C ,  D >. )
17 xpsle.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
18 xpsle.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
194xpsfval 14501 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  Y )  ->  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
2017, 18, 19syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) D )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
2116, 20syl5eqr 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D } ) )
22 opelxpi 4867 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  Y )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2317, 18, 22syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2412ffvelrni 5839 . . . . 5  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. C ,  D >. )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
2621, 25eqeltrrd 2516 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
27 xpsle.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  X.s  S )
28 xpsle.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  R
)
29 xpsle.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  S
)
30 xpsle.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
31 xpsle.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
32 eqid 2441 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
33 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
3427, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpsval 14506 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3527, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpslem 14507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
36 f1ocnv 5650 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
3710, 36mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
38 f1ofo 5645 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
40 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
42 xpsle.p . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  T )
43 eqid 2441 . . . 4  |-  ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( le `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
4437f1olecpbl 14461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  /\  ( c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  d  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) ) )  ->  (
( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  a )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c )  /\  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  d ) )  ->  ( a
( le `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) b  <->  c ( le `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) d ) ) )
4534, 35, 39, 41, 42, 43, 44imasleval 14475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D } )  e. 
ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  .<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) )
4615, 26, 45mpd3an23 1311 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) ) 
.<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) )
47 f1ocnvfv 5982 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) )  =  <. A ,  B >. ) )
4810, 9, 47sylancr 658 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. A ,  B >. )  =  `' ( { A }  +c  { B } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  = 
<. A ,  B >. ) )
497, 48mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  = 
<. A ,  B >. )
50 f1ocnvfv 5982 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D }
)  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { C }  +c  { D } ) )  =  <. C ,  D >. ) )
5110, 23, 50sylancr 658 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 <. C ,  D >. )  =  `' ( { C }  +c  { D } )  -> 
( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  = 
<. C ,  D >. ) )
5221, 51mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  = 
<. C ,  D >. )
5349, 52breq12d 4302 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  `' ( { A }  +c  { B } ) ) 
.<_  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) )  <->  <. A ,  B >.  .<_  <. C ,  D >. ) )
54 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
55 fvex 5698 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
57 2on 6924 . . . . 5  |-  2o  e.  On
5857a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
59 xpscfn 14493 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
6030, 31, 59syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o )
6115, 35eleqtrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
6226, 35eleqtrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
6333, 54, 56, 58, 60, 61, 62, 43prdsleval 14411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } )  <->  A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k ) ) )
64 df2o3 6929 . . . . . 6  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
6564raleqi 2919 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  A. k  e.  { (/) ,  1o } 
( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k
) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k ) )
66 0ex 4419 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
67 1on 6923 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
6867elexi 2980 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
69 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 k )  =  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) )
70 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k )  =  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) )
7170fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) )
72 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `
 k )  =  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) ) )
7369, 71, 72breq123d 4303 . . . . . 6  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) ) ) )
74 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )  =  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) )
75 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )  =  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o ) )
7675fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) )  =  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) )
77 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1o  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  =  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) )
7874, 76, 77breq123d 4303 . . . . . 6  |-  ( k  =  1o  ->  (
( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k
) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
7966, 68, 73, 78ralpr 3926 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  { (/) ,  1o }  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  <->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
8065, 79bitri 249 . . . 4  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  k )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k )  <->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) ) )
81 xpsc0 14494 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  (/) )  =  A )
822, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) )  =  A )
83 xpsc0 14494 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  V  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) )  =  R )
8430, 83syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) )  =  R )
8584fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) )  =  ( le `  R ) )
86 xpsle.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( le `  R
)
8785, 86syl6eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) )  =  M )
88 xpsc0 14494 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  X  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  (/) )  =  C )
8917, 88syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) )  =  C )
9082, 87, 89breq123d 4303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  (/) ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  (/) )  <->  A M C ) )
91 xpsc1 14495 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Y  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )  =  B )
923, 91syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o )  =  B )
93 xpsc1 14495 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  W  ->  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )  =  S )
9431, 93syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  1o )  =  S )
9594fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
)  =  ( le
`  S ) )
96 xpsle.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( le `  S
)
9795, 96syl6eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
)  =  N )
98 xpsc1 14495 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  Y  ->  ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  1o )  =  D )
9918, 98syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o )  =  D )
10092, 97, 99breq123d 4303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  1o ) ( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o )  <->  B N D ) )
10190, 100anbi12d 705 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 (/) ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  (/) ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `
 (/) )  /\  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )
( le `  ( `' ( { R }  +c  { S }
) `  1o )
) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  1o ) )  <->  ( A M C  /\  B N D ) ) )
10280, 101syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k ) ( le
`  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `  k ) ) ( `' ( { C }  +c  { D }
) `  k )  <->  ( A M C  /\  B N D ) ) )
10363, 102bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( le
`  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } )  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )
10446, 53, 1033bitr3d 283 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.<_  <. C ,  D >.  <-> 
( A M C  /\  B N D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   {csn 3874   {cpr 3876   <.cop 3880   class class class wbr 4289   Oncon0 4715    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   ran crn 4837    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -onto->wfo 5413   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   1oc1o 6909   2oc2o 6910    +c ccda 8332   Basecbs 14170  Scalarcsca 14237   lecple 14241   X_scprds 14380    X.s cxps 14440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-hom 14258  df-cco 14259  df-prds 14382  df-imas 14442  df-xps 14444
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator