Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsgrp Structured version   Unicode version

Theorem xpsgrp 16756
 Description: The binary product of groups is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsgrp.t s
Assertion
Ref Expression
xpsgrp

Proof of Theorem xpsgrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsgrp.t . . 3 s
2 eqid 2429 . . 3
3 eqid 2429 . . 3
4 simpl 458 . . 3
5 simpr 462 . . 3
6 eqid 2429 . . 3
7 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
8 eqid 2429 . . 3 Scalars Scalars
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 15429 . 2 s Scalars
106xpsff1o2 15428 . . . . 5
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 15430 . . . . . 6 Scalars
12 f1oeq3 5824 . . . . . 6 Scalars Scalars
1311, 12syl 17 . . . . 5 Scalars
1410, 13mpbii 214 . . . 4 Scalars
15 f1ocnv 5843 . . . 4 Scalars Scalars
16 f1of1 5830 . . . 4 Scalars Scalars
1714, 15, 163syl 18 . . 3 Scalars
18 2on 7198 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
20 fvex 5891 . . . . 5 Scalar
2120a1i 11 . . . 4 Scalar
22 xpscf 15423 . . . . 5
2322biimpri 209 . . . 4
248, 19, 21, 23prdsgrpd 16746 . . 3 Scalars
25 eqid 2429 . . . 4 s Scalars s Scalars
26 eqid 2429 . . . 4 Scalars Scalars
2725, 26imasgrpf1 16754 . . 3 Scalars Scalars s Scalars
2817, 24, 27syl2anc 665 . 2 s Scalars
299, 28eqeltrd 2517 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087  csn 4002   cxp 4852  ccnv 4853   crn 4855  con0 5442  wf 5597  wf1 5598  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c2o 7184   ccda 8595  cbs 15084  Scalarcsca 15155  scprds 15303   s cimas 15361   s cxps 15363  cgrp 16620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-prds 15305  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator