MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfval Structured version   Unicode version

Theorem xpsfval 15181
Description: The value of the function appearing in xpsval 15186. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsfval  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X F Y )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, X, y    x, Y, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval
StepHypRef Expression
1 sneq 3982 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
2 sneq 3982 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  { y }  =  { Y } )
31, 2oveqan12d 6297 . . 3  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( { x }  +c  { y } )  =  ( { X }  +c  { Y }
) )
43cnveqd 4999 . 2  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  `' ( { x }  +c  { y } )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
5 xpsff1o.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
6 ovex 6306 . . 3  |-  ( { X }  +c  { Y } )  e.  _V
76cnvex 6731 . 2  |-  `' ( { X }  +c  { Y } )  e. 
_V
84, 5, 7ovmpt2a 6414 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X F Y )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3972   `'ccnv 4822  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280    +c ccda 8579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283
This theorem is referenced by:  xpsff1o  15182  xpsaddlem  15189  xpsvsca  15193  xpsle  15195  xpsdsval  21176
  Copyright terms: Public domain W3C validator