MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfval Structured version   Unicode version

Theorem xpsfval 14510
Description: The value of the function appearing in xpsval 14515. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsfval  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X F Y )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, X, y    x, Y, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval
StepHypRef Expression
1 sneq 3892 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
2 sneq 3892 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  { y }  =  { Y } )
31, 2oveqan12d 6115 . . 3  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( { x }  +c  { y } )  =  ( { X }  +c  { Y }
) )
43cnveqd 5020 . 2  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  `' ( { x }  +c  { y } )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
5 xpsff1o.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
6 ovex 6121 . . 3  |-  ( { X }  +c  { Y } )  e.  _V
76cnvex 6530 . 2  |-  `' ( { X }  +c  { Y } )  e. 
_V
84, 5, 7ovmpt2a 6226 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X F Y )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3882   `'ccnv 4844  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098    +c ccda 8341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101
This theorem is referenced by:  xpsff1o  14511  xpsaddlem  14518  xpsvsca  14522  xpsle  14524  xpsdsval  19961
  Copyright terms: Public domain W3C validator