MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfval Structured version   Unicode version

Theorem xpsfval 14501
Description: The value of the function appearing in xpsval 14506. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsfval  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X F Y )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, X, y    x, Y, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval
StepHypRef Expression
1 sneq 3884 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
2 sneq 3884 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  { y }  =  { Y } )
31, 2oveqan12d 6109 . . 3  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( { x }  +c  { y } )  =  ( { X }  +c  { Y }
) )
43cnveqd 5011 . 2  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  `' ( { x }  +c  { y } )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
5 xpsff1o.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
6 ovex 6115 . . 3  |-  ( { X }  +c  { Y } )  e.  _V
76cnvex 6524 . 2  |-  `' ( { X }  +c  { Y } )  e. 
_V
84, 5, 7ovmpt2a 6220 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X F Y )  =  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {csn 3874   `'ccnv 4835  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    +c ccda 8332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095
This theorem is referenced by:  xpsff1o  14502  xpsaddlem  14509  xpsvsca  14513  xpsle  14515  xpsdsval  19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator