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Theorem xpsfrnel2 13745
Description: Elementhood in the target space of the function  F appearing in xpsval 13752. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  <-> 
( X  e.  A  /\  Y  e.  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, X    k, Y

Proof of Theorem xpsfrnel2
StepHypRef Expression
1 xpsfrnel 13743 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  <-> 
( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 1o )  e.  B ) )
2 0ex 4299 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
32prid1 3872 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
4 df2o3 6696 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
53, 4eleqtrri 2477 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  2o
6 fndm 5503 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  ->  dom  `' ( { X }  +c  { Y } )  =  2o )
75, 6syl5eleqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  ->  (/)  e.  dom  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
8 xpsc 13737 . . . . . . . . 9  |-  `' ( { X }  +c  { Y } )  =  ( ( { (/) }  X.  { X }
)  u.  ( { 1o }  X.  { Y } ) )
98dmeqi 5030 . . . . . . . 8  |-  dom  `' ( { X }  +c  { Y } )  =  dom  ( ( {
(/) }  X.  { X } )  u.  ( { 1o }  X.  { Y } ) )
10 dmun 5035 . . . . . . . 8  |-  dom  (
( { (/) }  X.  { X } )  u.  ( { 1o }  X.  { Y } ) )  =  ( dom  ( { (/) }  X.  { X } )  u. 
dom  ( { 1o }  X.  { Y }
) )
119, 10eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( { X }  +c  { Y } )  =  ( dom  ( {
(/) }  X.  { X } )  u.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) )
127, 11syl6eleq 2494 . . . . . 6  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  ->  (/)  e.  ( dom  ( { (/) }  X.  { X }
)  u.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) ) )
13 elun 3448 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( dom  ( {
(/) }  X.  { X } )  u.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) )  <-> 
( (/)  e.  dom  ( { (/) }  X.  { X } )  \/  (/)  e.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) ) )
142eldm 5026 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  ( { (/) }  X.  { X }
)  <->  E. k (/) ( {
(/) }  X.  { X } ) k )
15 brxp 4868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/) ( { (/) }  X.  { X } ) k  <->  ( (/)  e.  { (/)
}  /\  k  e.  { X } ) )
16 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { X }  ->  k  =  X )
17 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  k  e. 
_V
1816, 17syl6eqelr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { X }  ->  X  e.  _V )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  { (/) }  /\  k  e.  { X } )  ->  X  e.  _V )
2015, 19sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/) ( { (/) }  X.  { X } ) k  ->  X  e.  _V )
2120exlimiv 1641 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k (/) ( { (/) }  X.  { X }
) k  ->  X  e.  _V )
2214, 21sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  dom  ( { (/) }  X.  { X }
)  ->  X  e.  _V )
23 dmxpss 5259 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( { 1o }  X.  { Y } )  C_  { 1o }
2423sseli 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  ( { 1o }  X.  { Y }
)  ->  (/)  e.  { 1o } )
25 elsni 3798 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  { 1o }  ->  (/)  =  1o )
26 1n0 6698 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =/=  (/)
27 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  =/=  (/)  <->  -.  1o  =  (/) )
2826, 27mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  =  (/)
2928pm2.21i 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  =  (/)  ->  X  e. 
_V )
3029eqcoms 2407 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  1o  ->  X  e. 
_V )
3124, 25, 303syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  dom  ( { 1o }  X.  { Y }
)  ->  X  e.  _V )
3222, 31jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  dom  ( {
(/) }  X.  { X } )  \/  (/)  e.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) )  ->  X  e.  _V )
3313, 32sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ( dom  ( {
(/) }  X.  { X } )  u.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) )  ->  X  e.  _V )
3412, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  ->  X  e.  _V )
35 1on 6690 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
3635elexi 2925 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  _V
3736prid2 3873 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3837, 4eleqtrri 2477 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  2o
3938, 6syl5eleqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  ->  1o  e.  dom  `' ( { X }  +c  { Y } ) )
4039, 11syl6eleq 2494 . . . . . 6  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  ->  1o  e.  ( dom  ( {
(/) }  X.  { X } )  u.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) ) )
41 elun 3448 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  ( dom  ( { (/) }  X.  { X } )  u.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) )  <-> 
( 1o  e.  dom  ( { (/) }  X.  { X } )  \/  1o  e.  dom  ( { 1o }  X.  { Y }
) ) )
42 dmxpss 5259 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( { (/) }  X.  { X } )  C_  { (/) }
4342sseli 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  dom  ( {
(/) }  X.  { X } )  ->  1o  e.  { (/) } )
44 elsni 3798 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  { (/) }  ->  1o  =  (/) )
4528pm2.21i 125 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  =  (/)  ->  Y  e. 
_V )
4643, 44, 453syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  dom  ( {
(/) }  X.  { X } )  ->  Y  e.  _V )
4736eldm 5026 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } )  <->  E. k 1o ( { 1o }  X.  { Y } ) k )
48 brxp 4868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o ( { 1o }  X.  { Y } ) k  <->  ( 1o  e.  { 1o }  /\  k  e.  { Y } ) )
49 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { Y }  ->  k  =  Y )
5049, 17syl6eqelr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { Y }  ->  Y  e.  _V )
5150adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  { 1o }  /\  k  e.  { Y } )  ->  Y  e.  _V )
5248, 51sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o ( { 1o }  X.  { Y } ) k  ->  Y  e.  _V )
5352exlimiv 1641 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k 1o ( { 1o }  X.  { Y } ) k  ->  Y  e.  _V )
5447, 53sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } )  ->  Y  e.  _V )
5546, 54jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  dom  ( { (/) }  X.  { X } )  \/  1o  e.  dom  ( { 1o }  X.  { Y }
) )  ->  Y  e.  _V )
5641, 55sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( 1o  e.  ( dom  ( { (/) }  X.  { X } )  u.  dom  ( { 1o }  X.  { Y } ) )  ->  Y  e.  _V )
5740, 56syl 16 . . . . 5  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  ->  Y  e.  _V )
5834, 57jca 519 . . . 4  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
59583ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 1o )  e.  B )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
60 elex 2924 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
61 elex 2924 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  _V )
6260, 61anim12i 550 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
63 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 1o )  e.  B )  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 1o )  e.  B ) ) )
64 xpscfn 13739 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o )
6564biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  1o )  e.  B )  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o  /\  ( ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  1o )  e.  B ) ) ) )
66 xpsc0 13740 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  (/) )  =  X )
6766eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  (/) )  e.  A  <->  X  e.  A
) )
68 xpsc1 13741 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  1o )  =  Y )
6968eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  1o )  e.  B  <->  Y  e.  B ) )
7067, 69bi2anan9 844 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  1o )  e.  B )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )
) )
7165, 70bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 1o )  e.  B ) )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B ) ) )
7263, 71syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  1o )  e.  B )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )
) )
7359, 62, 72pm5.21nii 343 . 2  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  (/) )  e.  A  /\  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `
 1o )  e.  B )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B ) )
741, 73bitri 241 1  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  <-> 
( X  e.  A  /\  Y  e.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    u. cun 3278   (/)c0 3588   ifcif 3699   {csn 3774   {cpr 3775   class class class wbr 4172   Oncon0 4541    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   2oc2o 6677   X_cixp 7022    +c ccda 8003
This theorem is referenced by:  xpscf  13746  xpsff1o  13748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-cda 8004
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