MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrn2 Structured version   Unicode version

Theorem xpsfrn2 14520
Description: A short expression for the indexed cartesian product on two indexes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsfrn2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ran  F  =  X_ k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    k, V    B, k, x, y    k, W
Allowed substitution hints:    F( x, y, k)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem xpsfrn2
StepHypRef Expression
1 xpscfv 14512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
213expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  A ,  B
) )
32ixpeq2dva 7290 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
X_ k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
4 xpsff1o.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
54xpsfrn 14519 . 2  |-  ran  F  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )
63, 5syl6reqr 2494 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ran  F  =  X_ k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3649   ifcif 3803   {csn 3889   `'ccnv 4851   ran crn 4853   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105   2oc2o 6926   X_cixp 7275    +c ccda 8348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-cda 8349
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator