MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrn2 Structured version   Unicode version

Theorem xpsfrn2 14841
Description: A short expression for the indexed cartesian product on two indexes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsfrn2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ran  F  =  X_ k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    k, V    B, k, x, y    k, W
Allowed substitution hints:    F( x, y, k)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem xpsfrn2
StepHypRef Expression
1 xpscfv 14833 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `  k
)  =  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
213expa 1196 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  k  e.  2o )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 k )  =  if ( k  =  (/) ,  A ,  B
) )
32ixpeq2dva 7496 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
X_ k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
4 xpsff1o.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
54xpsfrn 14840 . 2  |-  ran  F  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )
63, 5syl6reqr 2527 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ran  F  =  X_ k  e.  2o  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3790   ifcif 3945   {csn 4033   `'ccnv 5004   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   2oc2o 7136   X_cixp 7481    +c ccda 8559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-cda 8560
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator