MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsff1o2 Structured version   Unicode version

Theorem xpsff1o2 14829
Description: The function appearing in xpsval 14830 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair  2o  =  { (/)
,  1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsff1o2  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> ran  F
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xpsff1o2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsff1o.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
21xpsff1o 14826 . 2  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )
3 f1of1 5815 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  ->  F : ( A  X.  B )
-1-1->
X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
4 f1f1orn 5827 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) -1-1-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  ->  F : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ran  F )
52, 3, 4mp2b 10 1  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> ran  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   2oc2o 7125   X_cixp 7470    +c ccda 8548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-cda 8549
This theorem is referenced by:  xpsbas  14832  xpsaddlem  14833  xpsadd  14834  xpsmul  14835  xpssca  14836  xpsvsca  14837  xpsless  14838  xpsle  14839  xpsmnd  15782  xpsgrp  16003  xpstps  20138  xpstopnlem2  20139  xpsdsfn  20707  xpsxmet  20710  xpsdsval  20711  xpsmet  20712  xpsxms  20864  xpsms  20865
  Copyright terms: Public domain W3C validator