MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsff1o2 Structured version   Unicode version

Theorem xpsff1o2 14509
Description: The function appearing in xpsval 14510 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair  2o  =  { (/)
,  1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsff1o2  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> ran  F
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xpsff1o2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsff1o.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
21xpsff1o 14506 . 2  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )
3 f1of1 5640 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  ->  F : ( A  X.  B )
-1-1->
X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
4 f1f1orn 5652 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) -1-1-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  ->  F : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ran  F )
52, 3, 4mp2b 10 1  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> ran  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369   (/)c0 3637   ifcif 3791   {csn 3877    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   ran crn 4841   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   2oc2o 6914   X_cixp 7263    +c ccda 8336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-cda 8337
This theorem is referenced by:  xpsbas  14512  xpsaddlem  14513  xpsadd  14514  xpsmul  14515  xpssca  14516  xpsvsca  14517  xpsless  14518  xpsle  14519  xpsmnd  15461  xpsgrp  15674  xpstps  19383  xpstopnlem2  19384  xpsdsfn  19952  xpsxmet  19955  xpsdsval  19956  xpsmet  19957  xpsxms  20109  xpsms  20110
  Copyright terms: Public domain W3C validator