MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsff1o2 Structured version   Unicode version

Theorem xpsff1o2 15428
Description: The function appearing in xpsval 15429 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair  2o  =  { (/)
,  1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsff1o2  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> ran  F
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xpsff1o2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsff1o.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
21xpsff1o 15425 . 2  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )
3 f1of1 5830 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  ->  F : ( A  X.  B )
-1-1->
X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
4 f1f1orn 5842 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) -1-1-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  ->  F : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ran  F )
52, 3, 4mp2b 10 1  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> ran  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437   (/)c0 3767   ifcif 3915   {csn 4002    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   ran crn 4855   -1-1->wf1 5598   -1-1-onto->wf1o 5600  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   2oc2o 7184   X_cixp 7530    +c ccda 8595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-cda 8596
This theorem is referenced by:  xpsbas  15431  xpsaddlem  15432  xpsadd  15433  xpsmul  15434  xpssca  15435  xpsvsca  15436  xpsless  15437  xpsle  15438  xpsmnd  16527  xpsgrp  16756  xpstps  20756  xpstopnlem2  20757  xpsdsfn  21323  xpsxmet  21326  xpsdsval  21327  xpsmet  21328  xpsxms  21480  xpsms  21481
  Copyright terms: Public domain W3C validator