Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsff1o Structured version   Unicode version

Theorem xpsff1o 14842
 Description: The function appearing in xpsval 14846 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f
Assertion
Ref Expression
xpsff1o
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem xpsff1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsfrnel2 14839 . . . . . 6
21biimpri 206 . . . . 5
32rgen2 2868 . . . 4
4 xpsff1o.f . . . . 5
54fmpt2 6852 . . . 4
63, 5mpbi 208 . . 3
7 1st2nd2 6822 . . . . . . . 8
87fveq2d 5860 . . . . . . 7
9 df-ov 6284 . . . . . . . 8
10 xp1st 6815 . . . . . . . . 9
11 xp2nd 6816 . . . . . . . . 9
124xpsfval 14841 . . . . . . . . 9
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8
149, 13syl5eqr 2498 . . . . . . 7
158, 14eqtrd 2484 . . . . . 6
16 1st2nd2 6822 . . . . . . . 8
1716fveq2d 5860 . . . . . . 7
18 df-ov 6284 . . . . . . . 8
19 xp1st 6815 . . . . . . . . 9
20 xp2nd 6816 . . . . . . . . 9
214xpsfval 14841 . . . . . . . . 9
2219, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8
2318, 22syl5eqr 2498 . . . . . . 7
2417, 23eqtrd 2484 . . . . . 6
2515, 24eqeqan12d 2466 . . . . 5
26 fveq1 5855 . . . . . . . 8
27 fvex 5866 . . . . . . . . 9
28 xpsc0 14834 . . . . . . . . 9
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8
30 fvex 5866 . . . . . . . . 9
31 xpsc0 14834 . . . . . . . . 9
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8
3326, 29, 323eqtr3g 2507 . . . . . . 7
34 fveq1 5855 . . . . . . . 8
35 fvex 5866 . . . . . . . . 9
36 xpsc1 14835 . . . . . . . . 9
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8
38 fvex 5866 . . . . . . . . 9
39 xpsc1 14835 . . . . . . . . 9
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8
4134, 37, 403eqtr3g 2507 . . . . . . 7
4233, 41opeq12d 4210 . . . . . 6
437, 16eqeqan12d 2466 . . . . . 6
4442, 43syl5ibr 221 . . . . 5
4525, 44sylbid 215 . . . 4
4645rgen2 2868 . . 3
47 dff13 6151 . . 3
486, 46, 47mpbir2an 920 . 2
49 xpsfrnel 14837 . . . . . 6
5049simp2bi 1013 . . . . 5
5149simp3bi 1014 . . . . 5
524xpsfval 14841 . . . . . . 7
5350, 51, 52syl2anc 661 . . . . . 6
54 ixpfn 7477 . . . . . . 7
55 xpsfeq 14838 . . . . . . 7
5654, 55syl 16 . . . . . 6
5753, 56eqtr2d 2485 . . . . 5
58 rspceov 6321 . . . . 5
5950, 51, 57, 58syl3anc 1229 . . . 4
6059rgen 2803 . . 3
61 foov 6434 . . 3
626, 60, 61mpbir2an 920 . 2
63 df-f1o 5585 . 2
6448, 62, 63mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794  cvv 3095  c0 3770  cif 3926  csn 4014  cop 4020   cxp 4987  ccnv 4988   wfn 5573  wf 5574  wf1 5575  wfo 5576  wf1o 5577  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  c1st 6783  c2nd 6784  c1o 7125  c2o 7126  cixp 7471   ccda 8550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-cda 8551 This theorem is referenced by:  xpsfrn  14843  xpsff1o2  14845
 Copyright terms: Public domain W3C validator