Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsdsval Structured version   Unicode version

Theorem xpsdsval 21388
 Description: Value of the metric in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t s
xpsds.x
xpsds.y
xpsds.1
xpsds.2
xpsds.p
xpsds.m
xpsds.n
xpsds.3
xpsds.4
xpsds.a
xpsds.b
xpsds.c
xpsds.d
Assertion
Ref Expression
xpsdsval

Proof of Theorem xpsdsval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . . . 5 s
2 xpsds.x . . . . 5
3 xpsds.y . . . . 5
4 xpsds.1 . . . . 5
5 xpsds.2 . . . . 5
6 eqid 2423 . . . . 5
7 eqid 2423 . . . . 5 Scalar Scalar
8 eqid 2423 . . . . 5 Scalars Scalars
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 15471 . . . 4 s Scalars
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 15472 . . . 4 Scalars
116xpsff1o2 15470 . . . . 5
12 f1ocnv 5841 . . . . 5
1311, 12mp1i 13 . . . 4
14 ovex 6331 . . . . 5 Scalars
1514a1i 11 . . . 4 Scalars
16 eqid 2423 . . . 4 Scalars Scalars
17 xpsds.p . . . 4
18 xpsds.m . . . . . 6
19 xpsds.n . . . . . 6
20 xpsds.3 . . . . . 6
21 xpsds.4 . . . . . 6
221, 2, 3, 4, 5, 17, 18, 19, 20, 21xpsxmetlem 21386 . . . . 5 Scalars
23 ssid 3484 . . . . 5
24 xmetres2 21368 . . . . 5 Scalars Scalars
2522, 23, 24sylancl 667 . . . 4 Scalars
26 df-ov 6306 . . . . . 6
27 xpsds.a . . . . . . 7
28 xpsds.b . . . . . . 7
296xpsfval 15466 . . . . . . 7
3027, 28, 29syl2anc 666 . . . . . 6
3126, 30syl5eqr 2478 . . . . 5
32 opelxpi 4883 . . . . . . 7
3327, 28, 32syl2anc 666 . . . . . 6
34 f1of 5829 . . . . . . . 8
3511, 34ax-mp 5 . . . . . . 7
3635ffvelrni 6034 . . . . . 6
3733, 36syl 17 . . . . 5
3831, 37eqeltrrd 2512 . . . 4
39 df-ov 6306 . . . . . 6
40 xpsds.c . . . . . . 7
41 xpsds.d . . . . . . 7
426xpsfval 15466 . . . . . . 7
4340, 41, 42syl2anc 666 . . . . . 6
4439, 43syl5eqr 2478 . . . . 5
45 opelxpi 4883 . . . . . . 7
4640, 41, 45syl2anc 666 . . . . . 6
4735ffvelrni 6034 . . . . . 6
4846, 47syl 17 . . . . 5
4944, 48eqeltrrd 2512 . . . 4
509, 10, 13, 15, 16, 17, 25, 38, 49imasdsf1o 21381 . . 3 Scalars
5138, 49ovresd 6449 . . 3 Scalars Scalars
5250, 51eqtrd 2464 . 2 Scalars
53 f1ocnvfv 6190 . . . . 5
5411, 33, 53sylancr 668 . . . 4
5531, 54mpd 15 . . 3
56 f1ocnvfv 6190 . . . . 5
5711, 46, 56sylancr 668 . . . 4
5844, 57mpd 15 . . 3
5955, 58oveq12d 6321 . 2
60 eqid 2423 . . . 4 Scalars Scalars
61 fvex 5889 . . . . 5 Scalar
6261a1i 11 . . . 4 Scalar
63 2on 7196 . . . . 5
6463a1i 11 . . . 4
65 xpscfn 15458 . . . . 5
664, 5, 65syl2anc 666 . . . 4
6738, 10eleqtrd 2513 . . . 4 Scalars
6849, 10eleqtrd 2513 . . . 4 Scalars
69 eqid 2423 . . . 4 Scalars Scalars
708, 60, 62, 64, 66, 67, 68, 69prdsdsval 15369 . . 3 Scalars
71 df2o3 7201 . . . . . . . . . . 11
7271rexeqi 3031 . . . . . . . . . 10
73 0ex 4554 . . . . . . . . . . 11
74 1on 7195 . . . . . . . . . . . 12
7574elexi 3092 . . . . . . . . . . 11
76 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
7776fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
78 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
79 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 78, 79oveq123d 6324 . . . . . . . . . . . 12
8180eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . 11
82 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
8382fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
84 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
85 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
8683, 84, 85oveq123d 6324 . . . . . . . . . . . 12
8786eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . 11
8873, 75, 81, 87rexpr 4052 . . . . . . . . . 10
8972, 88bitri 253 . . . . . . . . 9
90 xpsc0 15459 . . . . . . . . . . . . . . 15
914, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
9291fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
93 xpsc0 15459 . . . . . . . . . . . . . 14
9427, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
95 xpsc0 15459 . . . . . . . . . . . . . 14
9640, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
9792, 94, 96oveq123d 6324 . . . . . . . . . . . 12
9818oveqi 6316 . . . . . . . . . . . . 13
9927, 40ovresd 6449 . . . . . . . . . . . . 13
10098, 99syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . 12
10197, 100eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . 11
102101eqeq2d 2437 . . . . . . . . . 10
103 xpsc1 15460 . . . . . . . . . . . . . . 15
1045, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
105104fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
106 xpsc1 15460 . . . . . . . . . . . . . 14
10728, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
108 xpsc1 15460 . . . . . . . . . . . . . 14
10941, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
110105, 107, 109oveq123d 6324 . . . . . . . . . . . 12
11119oveqi 6316 . . . . . . . . . . . . 13
11228, 41ovresd 6449 . . . . . . . . . . . . 13
113111, 112syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . 12
114110, 113eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . 11
115114eqeq2d 2437 . . . . . . . . . 10
116102, 115orbi12d 715 . . . . . . . . 9
11789, 116syl5bb 261 . . . . . . . 8
118 vex 3085 . . . . . . . . 9
119 eqid 2423 . . . . . . . . . 10
120119elrnmpt 5098 . . . . . . . . 9
121118, 120ax-mp 5 . . . . . . . 8
122118elpr 4015 . . . . . . . 8
123117, 121, 1223bitr4g 292 . . . . . . 7
124123eqrdv 2420 . . . . . 6
125124uneq1d 3620 . . . . 5
126 uncom 3611 . . . . 5
127125, 126syl6eq 2480 . . . 4
128127supeq1d 7964 . . 3
129 0xr 9689 . . . . . 6
130129a1i 11 . . . . 5
131130snssd 4143 . . . 4
132 xmetcl 21338 . . . . . 6
13320, 27, 40, 132syl3anc 1265 . . . . 5
134 xmetcl 21338 . . . . . 6
13521, 28, 41, 134syl3anc 1265 . . . . 5
136 prssi 4154 . . . . 5
137133, 135, 136syl2anc 666 . . . 4
138 xrltso 11442 . . . . . 6
139 supsn 7992 . . . . . 6
140138, 129, 139mp2an 677 . . . . 5
141 supxrcl 11602 . . . . . . 7
142137, 141syl 17 . . . . . 6
143 xmetge0 21351 . . . . . . 7
14420, 27, 40, 143syl3anc 1265 . . . . . 6
145 ovex 6331 . . . . . . . 8
146145prid1 4106 . . . . . . 7
147 supxrub 11612 . . . . . . 7
148137, 146, 147sylancl 667 . . . . . 6
149130, 133, 142, 144, 148xrletrd 11461 . . . . 5
150140, 149syl5eqbr 4455 . . . 4
151 supxrun 11603 . . . 4
152131, 137, 150, 151syl3anc 1265 . . 3
15370, 128, 1523eqtrd 2468 . 2 Scalars
15452, 59, 1533eqtr3d 2472 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wo 370   wceq 1438   wcel 1869  wrex 2777  cvv 3082   cun 3435   wss 3437  c0 3762  csn 3997  cpr 3999  cop 4003   class class class wbr 4421   cmpt 4480   wor 4771   cxp 4849  ccnv 4850   crn 4852   cres 4853  con0 5440   wfn 5594  wf 5595  wf1o 5598  cfv 5599  (class class class)co 6303   cmpt2 6305  c1o 7181  c2o 7182  csup 7958   ccda 8599  cc0 9541  cxr 9676   clt 9677   cle 9678  cbs 15114  Scalarcsca 15186  cds 15192  scprds 15337   s cxps 15398  cxmt 18948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-xmet 18956 This theorem is referenced by:  tmsxpsval  21545
 Copyright terms: Public domain W3C validator