MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscg Structured version   Unicode version

Theorem xpscg 14607
Description: A short expression for the pair function mapping  0 to  A and  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )

Proof of Theorem xpscg
StepHypRef Expression
1 0ex 4523 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 xpsng 5986 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
4 1on 7030 . . . 4  |-  1o  e.  On
5 xpsng 5986 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  B  e.  W )  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
64, 5mpan 670 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
7 uneq12 3606 . . 3  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <. (/) ,  A >. }  /\  ( { 1o }  X.  { B }
)  =  { <. 1o ,  B >. } )  ->  ( ( {
(/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } ) )
83, 6, 7syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } ) )
9 xpsc 14606 . 2  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
10 df-pr 3981 . 2  |-  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } )
118, 9, 103eqtr4g 2517 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    u. cun 3427   (/)c0 3738   {csn 3978   {cpr 3980   <.cop 3984   Oncon0 4820    X. cxp 4939   `'ccnv 4940  (class class class)co 6193   1oc1o 7016    +c ccda 8440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1o 7023  df-cda 8441
This theorem is referenced by:  xpscfn  14608  xpstopnlem1  19507
  Copyright terms: Public domain W3C validator