MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscg Structured version   Unicode version

Theorem xpscg 14827
Description: A short expression for the pair function mapping  0 to  A and  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )

Proof of Theorem xpscg
StepHypRef Expression
1 0ex 4563 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 xpsng 6053 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
4 1on 7135 . . . 4  |-  1o  e.  On
5 xpsng 6053 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  B  e.  W )  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
64, 5mpan 670 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
7 uneq12 3635 . . 3  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <. (/) ,  A >. }  /\  ( { 1o }  X.  { B }
)  =  { <. 1o ,  B >. } )  ->  ( ( {
(/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } ) )
83, 6, 7syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } ) )
9 xpsc 14826 . 2  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
10 df-pr 4013 . 2  |-  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } )
118, 9, 103eqtr4g 2507 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    u. cun 3456   (/)c0 3767   {csn 4010   {cpr 4012   <.cop 4016   Oncon0 4864    X. cxp 4983   `'ccnv 4984  (class class class)co 6277   1oc1o 7121    +c ccda 8545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1o 7128  df-cda 8546
This theorem is referenced by:  xpscfn  14828  xpstopnlem1  20176
  Copyright terms: Public domain W3C validator