MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscg Structured version   Unicode version

Theorem xpscg 14802
Description: A short expression for the pair function mapping  0 to  A and  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )

Proof of Theorem xpscg
StepHypRef Expression
1 0ex 4570 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 xpsng 6053 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
4 1on 7127 . . . 4  |-  1o  e.  On
5 xpsng 6053 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  B  e.  W )  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
64, 5mpan 670 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
7 uneq12 3646 . . 3  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <. (/) ,  A >. }  /\  ( { 1o }  X.  { B }
)  =  { <. 1o ,  B >. } )  ->  ( ( {
(/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } ) )
83, 6, 7syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } ) )
9 xpsc 14801 . 2  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
10 df-pr 4023 . 2  |-  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } )
118, 9, 103eqtr4g 2526 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    u. cun 3467   (/)c0 3778   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   Oncon0 4871    X. cxp 4990   `'ccnv 4991  (class class class)co 6275   1oc1o 7113    +c ccda 8536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1o 7120  df-cda 8537
This theorem is referenced by:  xpscfn  14803  xpstopnlem1  20038
  Copyright terms: Public domain W3C validator