MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscg Structured version   Unicode version

Theorem xpscg 15416
Description: A short expression for the pair function mapping  0 to  A and  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )

Proof of Theorem xpscg
StepHypRef Expression
1 0ex 4548 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 xpsng 6071 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
31, 2mpan 674 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <.
(/) ,  A >. } )
4 1on 7188 . . . 4  |-  1o  e.  On
5 xpsng 6071 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  B  e.  W )  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
64, 5mpan 674 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
7 uneq12 3612 . . 3  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  =  { <. (/) ,  A >. }  /\  ( { 1o }  X.  { B }
)  =  { <. 1o ,  B >. } )  ->  ( ( {
(/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } ) )
83, 6, 7syl2an 479 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } ) )
9 xpsc 15415 . 2  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
10 df-pr 3996 . 2  |-  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  =  ( { <. (/) ,  A >. }  u.  { <. 1o ,  B >. } )
118, 9, 103eqtr4g 2486 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078    u. cun 3431   (/)c0 3758   {csn 3993   {cpr 3995   <.cop 3999    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   Oncon0 5433  (class class class)co 6296   1oc1o 7174    +c ccda 8586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-ord 5436  df-on 5437  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1o 7181  df-cda 8587
This theorem is referenced by:  xpscfn  15417  xpstopnlem1  20761
  Copyright terms: Public domain W3C validator