MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscfn Structured version   Unicode version

Theorem xpscfn 15443
Description: The pair function is a function on  2o  =  { (/)
,  1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscfn  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  Fn  2o )

Proof of Theorem xpscfn
StepHypRef Expression
1 0ex 4549 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 1on 7189 . . . 4  |-  1o  e.  On
3 1n0 7197 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
43necomi 2692 . . . . 5  |-  (/)  =/=  1o
5 fnprg 5647 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  _V  /\  1o  e.  On )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  /\  (/)  =/=  1o )  ->  { <. (/) ,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
64, 5mp3an3 1349 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  _V  /\  1o  e.  On )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
71, 2, 6mpanl12 686 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
8 df2o3 7195 . . . 4  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
98fneq2i 5681 . . 3  |-  ( {
<. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o  <->  { <. (/) ,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
107, 9sylibr 215 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o )
11 xpscg 15442 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )
1211fneq1d 5676 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } )  Fn  2o  <->  {
<. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o ) )
1310, 12mpbird 235 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  Fn  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1867    =/= wne 2616   _Vcvv 3078   (/)c0 3758   {csn 3993   {cpr 3995   <.cop 3999   `'ccnv 4845   Oncon0 5434    Fn wfn 5588  (class class class)co 6297   1oc1o 7175   2oc2o 7176    +c ccda 8593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-ord 5437  df-on 5438  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-1o 7182  df-2o 7183  df-cda 8594
This theorem is referenced by:  xpsfeq  15448  xpsfrnel2  15449  xpslem  15457  xpsaddlem  15459  xpsvsca  15463  xpsle  15465  xpstopnlem1  20801  xpstopnlem2  20803  xpsxmetlem  21371  xpsdsval  21373  xpsmet  21374
  Copyright terms: Public domain W3C validator