MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscfn Structured version   Unicode version

Theorem xpscfn 14807
Description: The pair function is a function on  2o  =  { (/)
,  1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscfn  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  Fn  2o )

Proof of Theorem xpscfn
StepHypRef Expression
1 0ex 4577 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 1on 7134 . . . 4  |-  1o  e.  On
3 1n0 7142 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
43necomi 2737 . . . . 5  |-  (/)  =/=  1o
5 fnprg 5640 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  _V  /\  1o  e.  On )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  /\  (/)  =/=  1o )  ->  { <. (/) ,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
64, 5mp3an3 1313 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  _V  /\  1o  e.  On )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
71, 2, 6mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
8 df2o3 7140 . . . 4  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
98fneq2i 5674 . . 3  |-  ( {
<. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o  <->  { <. (/) ,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
107, 9sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o )
11 xpscg 14806 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )
1211fneq1d 5669 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } )  Fn  2o  <->  {
<. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o ) )
1310, 12mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  Fn  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   Oncon0 4878   `'ccnv 4998    Fn wfn 5581  (class class class)co 6282   1oc1o 7120   2oc2o 7121    +c ccda 8543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1o 7127  df-2o 7128  df-cda 8544
This theorem is referenced by:  xpsfeq  14812  xpsfrnel2  14813  xpslem  14821  xpsaddlem  14823  xpsvsca  14827  xpsle  14829  xpstopnlem1  20042  xpstopnlem2  20044  xpsxmetlem  20614  xpsdsval  20616  xpsmet  20617
  Copyright terms: Public domain W3C validator