MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscfn Structured version   Unicode version

Theorem xpscfn 15065
Description: The pair function is a function on  2o  =  { (/)
,  1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscfn  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  Fn  2o )

Proof of Theorem xpscfn
StepHypRef Expression
1 0ex 4525 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 1on 7094 . . . 4  |-  1o  e.  On
3 1n0 7102 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
43necomi 2673 . . . . 5  |-  (/)  =/=  1o
5 fnprg 5579 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  _V  /\  1o  e.  On )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  /\  (/)  =/=  1o )  ->  { <. (/) ,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
64, 5mp3an3 1315 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  _V  /\  1o  e.  On )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
71, 2, 6mpanl12 680 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
8 df2o3 7100 . . . 4  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
98fneq2i 5613 . . 3  |-  ( {
<. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o  <->  { <. (/) ,  A >. ,  <. 1o ,  B >. }  Fn  { (/) ,  1o } )
107, 9sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o )
11 xpscg 15064 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  =  { <. (/)
,  A >. ,  <. 1o ,  B >. } )
1211fneq1d 5608 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } )  Fn  2o  <->  {
<. (/) ,  A >. , 
<. 1o ,  B >. }  Fn  2o ) )
1310, 12mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' ( { A }  +c  { B }
)  Fn  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   Oncon0 4821   `'ccnv 4941    Fn wfn 5520  (class class class)co 6234   1oc1o 7080   2oc2o 7081    +c ccda 8499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-1o 7087  df-2o 7088  df-cda 8500
This theorem is referenced by:  xpsfeq  15070  xpsfrnel2  15071  xpslem  15079  xpsaddlem  15081  xpsvsca  15085  xpsle  15087  xpstopnlem1  20494  xpstopnlem2  20496  xpsxmetlem  21066  xpsdsval  21068  xpsmet  21069
  Copyright terms: Public domain W3C validator