MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscf Structured version   Unicode version

Theorem xpscf 14496
Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on  A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscf  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )

Proof of Theorem xpscf
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifid 3821 . . . . . 6  |-  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  =  A
21eleq2i 2502 . . . . 5  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
)  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
)
32ralbii 2734 . . . 4  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
)  <->  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  A )
43anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
) )  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
) )
5 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( { X }  +c  { Y } )  e.  _V
65cnvex 6520 . . . 4  |-  `' ( { X }  +c  { Y } )  e. 
_V
76elixp 7262 . . 3  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <-> 
( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\ 
A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
) ) )
8 ffnfv 5864 . . 3  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
) )
94, 7, 83bitr4i 277 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <->  `' ( { X }  +c  { Y }
) : 2o --> A )
10 xpsfrnel2 14495 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <-> 
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
) )
119, 10bitr3i 251 1  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   (/)c0 3632   ifcif 3786   {csn 3872   `'ccnv 4834    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   2oc2o 6906   X_cixp 7255    +c ccda 8328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-cda 8329
This theorem is referenced by:  xpsmnd  15453  xpsgrp  15665  dmdprdpr  16536  dprdpr  16537  xpstopnlem1  19357  xpstps  19358  xpsxms  20084  xpsms  20085
  Copyright terms: Public domain W3C validator