MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscf Structured version   Unicode version

Theorem xpscf 14821
Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on  A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscf  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )

Proof of Theorem xpscf
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifid 3976 . . . . . 6  |-  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  =  A
21eleq2i 2545 . . . . 5  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
)  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
)
32ralbii 2895 . . . 4  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
)  <->  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  A )
43anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
) )  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
) )
5 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( { X }  +c  { Y } )  e.  _V
65cnvex 6731 . . . 4  |-  `' ( { X }  +c  { Y } )  e. 
_V
76elixp 7476 . . 3  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <-> 
( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\ 
A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
) ) )
8 ffnfv 6047 . . 3  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
) )
94, 7, 83bitr4i 277 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <->  `' ( { X }  +c  { Y }
) : 2o --> A )
10 xpsfrnel2 14820 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <-> 
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
) )
119, 10bitr3i 251 1  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   `'ccnv 4998    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   2oc2o 7124   X_cixp 7469    +c ccda 8547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-cda 8548
This theorem is referenced by:  xpsmnd  15779  xpsgrp  15999  dmdprdpr  16900  dprdpr  16901  xpstopnlem1  20073  xpstps  20074  xpsxms  20800  xpsms  20801
  Copyright terms: Public domain W3C validator