MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscf Unicode version

Theorem xpscf 13746
Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on  A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscf  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )

Proof of Theorem xpscf
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifid 3731 . . . . . 6  |-  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  =  A
21eleq2i 2468 . . . . 5  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
)  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
)
32ralbii 2690 . . . 4  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
)  <->  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  A )
43anbi2i 676 . . 3  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
) )  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
) )
5 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( { X }  +c  { Y } )  e.  _V
65cnvex 5365 . . . 4  |-  `' ( { X }  +c  { Y } )  e. 
_V
76elixp 7028 . . 3  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <-> 
( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\ 
A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
) ) )
8 ffnfv 5853 . . 3  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
) )
94, 7, 83bitr4i 269 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <->  `' ( { X }  +c  { Y }
) : 2o --> A )
10 xpsfrnel2 13745 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <-> 
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
) )
119, 10bitr3i 243 1  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   (/)c0 3588   ifcif 3699   {csn 3774   `'ccnv 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   2oc2o 6677   X_cixp 7022    +c ccda 8003
This theorem is referenced by:  xpsmnd  14690  xpsgrp  14892  dmdprdpr  15562  dprdpr  15563  xpstopnlem1  17794  xpstps  17795  xpsxms  18517  xpsms  18518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-cda 8004
  Copyright terms: Public domain W3C validator