MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscf Structured version   Unicode version

Theorem xpscf 15423
Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on  A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscf  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )

Proof of Theorem xpscf
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifid 3952 . . . . . 6  |-  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  =  A
21eleq2i 2507 . . . . 5  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
)  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
)
32ralbii 2863 . . . 4  |-  ( A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
)  <->  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  A )
43anbi2i 698 . . 3  |-  ( ( `' ( { X }  +c  { Y }
)  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
) )  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
) )
5 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( { X }  +c  { Y } )  e.  _V
65cnvex 6754 . . . 4  |-  `' ( { X }  +c  { Y } )  e. 
_V
76elixp 7537 . . 3  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <-> 
( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\ 
A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y }
) `  k )  e.  if ( k  =  (/) ,  A ,  A
) ) )
8 ffnfv 6064 . . 3  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  Fn  2o  /\  A. k  e.  2o  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) `  k )  e.  A
) )
94, 7, 83bitr4i 280 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <->  `' ( { X }  +c  { Y }
) : 2o --> A )
10 xpsfrnel2 15422 . 2  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } )  e.  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  A )  <-> 
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
) )
119, 10bitr3i 254 1  |-  ( `' ( { X }  +c  { Y } ) : 2o --> A  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   (/)c0 3767   ifcif 3915   {csn 4002   `'ccnv 4853    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   2oc2o 7184   X_cixp 7530    +c ccda 8595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-cda 8596
This theorem is referenced by:  xpsmnd  16527  xpsgrp  16756  dmdprdpr  17617  dprdpr  17618  xpstopnlem1  20755  xpstps  20756  xpsxms  21480  xpsms  21481
  Copyright terms: Public domain W3C validator