MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc1 Unicode version

Theorem xpsc1 13741
Description: The pair function maps  1 to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc1  |-  ( B  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )  =  B )

Proof of Theorem xpsc1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 13737 . . . 4  |-  `' ( { A }  +c  { B } )  =  ( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) )
21fveq1i 5688 . . 3  |-  ( `' ( { A }  +c  { B } ) `
 1o )  =  ( ( ( {
(/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  1o )
3 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
4 fvi 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (  _I  `  x )  =  x )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  x )  =  x
6 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
76fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { A }  ->  (  _I  `  x
)  =  (  _I 
`  A ) )
85, 7syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  (  _I 
`  A ) )
9 elsn 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (  _I 
`  A ) }  <-> 
x  =  (  _I 
`  A ) )
108, 9sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  e.  { (  _I  `  A ) } )
1110ssriv 3312 . . . . . . . . 9  |-  { A }  C_  { (  _I 
`  A ) }
12 xpss2 4944 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  C_  { (  _I  `  A ) }  ->  ( { (/)
}  X.  { A } )  C_  ( { (/) }  X.  {
(  _I  `  A
) } ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  X.  { A } )  C_  ( { (/) }  X.  {
(  _I  `  A
) } )
14 0ex 4299 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
15 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  A )  e. 
_V
1614, 15xpsn 5869 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  X.  { (  _I  `  A ) } )  =  { <.
(/) ,  (  _I  `  A ) >. }
1713, 16sseqtri 3340 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  X.  { A } )  C_  { <. (/)
,  (  _I  `  A ) >. }
1814, 15funsn 5458 . . . . . . 7  |-  Fun  { <.
(/) ,  (  _I  `  A ) >. }
19 funss 5431 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  X.  { A } )  C_  { <. (/)
,  (  _I  `  A ) >. }  ->  ( Fun  { <. (/) ,  (  _I  `  A )
>. }  ->  Fun  ( {
(/) }  X.  { A } ) ) )
2017, 18, 19mp2 9 . . . . . 6  |-  Fun  ( { (/) }  X.  { A } )
21 funfn 5441 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( { (/) }  X.  { A } )  <->  ( { (/)
}  X.  { A } )  Fn  dom  ( { (/) }  X.  { A } ) )
2220, 21mpbi 200 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  X.  { A } )  Fn  dom  ( { (/) }  X.  { A } )
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( { (/) }  X.  { A } )  Fn  dom  ( { (/) }  X.  { A } ) )
24 fnconstg 5590 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  { 1o } )
25 dmxpss 5259 . . . . . . 7  |-  dom  ( { (/) }  X.  { A } )  C_  { (/) }
26 ssrin 3526 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( { (/) }  X.  { A } )  C_  {
(/) }  ->  ( dom  ( { (/) }  X.  { A } )  i^i 
{ 1o } ) 
C_  ( { (/) }  i^i  { 1o }
) )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( dom  ( { (/) }  X.  { A } )  i^i 
{ 1o } ) 
C_  ( { (/) }  i^i  { 1o }
)
28 1n0 6698 . . . . . . . 8  |-  1o  =/=  (/)
2928necomi 2649 . . . . . . 7  |-  (/)  =/=  1o
30 disjsn2 3829 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  { 1o } )  =  (/)
32 sseq0 3619 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  ( {
(/) }  X.  { A } )  i^i  { 1o } )  C_  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  /\  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )  ->  ( dom  ( { (/) }  X.  { A } )  i^i  { 1o } )  =  (/) )
3327, 31, 32mp2an 654 . . . . 5  |-  ( dom  ( { (/) }  X.  { A } )  i^i 
{ 1o } )  =  (/)
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( dom  ( { (/) }  X.  { A } )  i^i 
{ 1o } )  =  (/) )
35 1on 6690 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
3635elexi 2925 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
3736snid 3801 . . . . 5  |-  1o  e.  { 1o }
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  1o  e.  { 1o } )
39 fvun2 5754 . . . 4  |-  ( ( ( { (/) }  X.  { A } )  Fn 
dom  ( { (/) }  X.  { A }
)  /\  ( { 1o }  X.  { B } )  Fn  { 1o }  /\  ( ( dom  ( { (/) }  X.  { A }
)  i^i  { 1o } )  =  (/)  /\  1o  e.  { 1o } ) )  -> 
( ( ( {
(/) }  X.  { A } )  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  1o )  =  (
( { 1o }  X.  { B } ) `
 1o ) )
4023, 24, 34, 38, 39syl112anc 1188 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
( ( { (/) }  X.  { A }
)  u.  ( { 1o }  X.  { B } ) ) `  1o )  =  (
( { 1o }  X.  { B } ) `
 1o ) )
412, 40syl5eq 2448 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )  =  ( ( { 1o }  X.  { B } ) `  1o ) )
42 xpsng 5868 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  B  e.  V )  ->  ( { 1o }  X.  { B } )  =  { <. 1o ,  B >. } )
4342fveq1d 5689 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  B  e.  V )  ->  ( ( { 1o }  X.  { B }
) `  1o )  =  ( { <. 1o ,  B >. } `  1o ) )
44 fvsng 5886 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  B  e.  V )  ->  ( { <. 1o ,  B >. } `  1o )  =  B )
4543, 44eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  B  e.  V )  ->  ( ( { 1o }  X.  { B }
) `  1o )  =  B )
4635, 45mpan 652 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
( { 1o }  X.  { B } ) `
 1o )  =  B )
4741, 46eqtrd 2436 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  1o )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777    _I cid 4453   Oncon0 4541    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    +c ccda 8003
This theorem is referenced by:  xpscfv  13742  xpsfeq  13744  xpsfrnel2  13745  xpsff1o  13748  xpsle  13761  dmdprdpr  15562  dprdpr  15563  xpstopnlem1  17794  xpstopnlem2  17796  xpsxmetlem  18362  xpsdsval  18364  xpsmet  18365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1o 6683  df-cda 8004
  Copyright terms: Public domain W3C validator