MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsadd Structured version   Unicode version

Theorem xpsadd 14993
Description: Value of the addition operation in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsval.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsval.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsval.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsval.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsadd.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
xpsadd.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
xpsadd.5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
xpsadd.6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
xpsadd.7  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  C
)  e.  X )
xpsadd.8  |-  ( ph  ->  ( B  .X.  D
)  e.  Y )
xpsadd.m  |-  .x.  =  ( +g  `  R )
xpsadd.n  |-  .X.  =  ( +g  `  S )
xpsadd.p  |-  .xb  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
xpsadd  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.xb  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  .x.  C ) ,  ( B  .X.  D
) >. )

Proof of Theorem xpsadd
Dummy variables  y 
k  c  x  d  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.t . 2  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 xpsval.x . 2  |-  X  =  ( Base `  R
)
3 xpsval.y . 2  |-  Y  =  ( Base `  S
)
4 xpsval.1 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
5 xpsval.2 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
6 xpsadd.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
7 xpsadd.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
8 xpsadd.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
9 xpsadd.6 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
10 xpsadd.7 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  C
)  e.  X )
11 xpsadd.8 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  .X.  D
)  e.  Y )
12 xpsadd.m . 2  |-  .x.  =  ( +g  `  R )
13 xpsadd.n . 2  |-  .X.  =  ( +g  `  S )
14 xpsadd.p . 2  |-  .xb  =  ( +g  `  T )
15 eqid 2457 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
16 eqid 2457 . 2  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
1715xpsff1o2 14988 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
18 f1ocnv 5834 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
1917, 18mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
20 f1ofo 5829 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
2219f1ocpbl 14942 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  /\  ( c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  d  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) ) )  ->  (
( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  a )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c )  /\  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  d ) )  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
a ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) b ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
c ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) d ) ) ) )
23 eqid 2457 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
241, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpsval 14989 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
251, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpslem 14990 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
26 ovex 6324 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
28 eqid 2457 . . 3  |-  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
2921, 22, 24, 25, 27, 28, 14imasaddval 14949 . 2  |-  ( (
ph  /\  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D } )  e. 
ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) ) )
30 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
31 fvex 5882 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
33 2on 7156 . . . 4  |-  2o  e.  On
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  2o  e.  On )
35 simp1 996 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o )
36 simp2 997 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
37 simp3 998 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { C }  +c  { D } )  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3816, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 28prdsplusgval 14890 . 2  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( +g  `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( +g  `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k
) ) ) )
391, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 29, 38xpsaddlem 14992 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.xb  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  .x.  C ) ,  ( B  .X.  D
) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   {csn 4032   <.cop 4038   Oncon0 4887    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   2oc2o 7142    +c ccda 8564   Basecbs 14644   +g cplusg 14712  Scalarcsca 14715   X_scprds 14863    X.s cxps 14923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-prds 14865  df-imas 14925  df-xps 14927
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator