Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsadd Structured version   Unicode version

 Description: Value of the addition operation in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t s
xpsval.x
xpsval.y
xpsval.1
xpsval.2
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.t . 2 s
2 xpsval.x . 2
3 xpsval.y . 2
4 xpsval.1 . 2
5 xpsval.2 . 2
15 eqid 2457 . 2
16 eqid 2457 . 2 Scalars Scalars
1715xpsff1o2 14988 . . . . 5
18 f1ocnv 5834 . . . . 5
1917, 18mp1i 12 . . . 4
20 f1ofo 5829 . . . 4
2119, 20syl 16 . . 3
2219f1ocpbl 14942 . . 3 Scalars Scalars
23 eqid 2457 . . . 4 Scalar Scalar
241, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpsval 14989 . . 3 s Scalars
251, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpslem 14990 . . 3 Scalars
26 ovex 6324 . . . 4 Scalars
2726a1i 11 . . 3 Scalars
28 eqid 2457 . . 3 Scalars Scalars
2921, 22, 24, 25, 27, 28, 14imasaddval 14949 . 2 Scalars
30 eqid 2457 . . 3 Scalars Scalars
31 fvex 5882 . . . 4 Scalar
3231a1i 11 . . 3 Scalars Scalars Scalar
33 2on 7156 . . . 4
3433a1i 11 . . 3 Scalars Scalars
35 simp1 996 . . 3 Scalars Scalars
36 simp2 997 . . 3 Scalars Scalars Scalars
37 simp3 998 . . 3 Scalars Scalars Scalars
3816, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 28prdsplusgval 14890 . 2 Scalars Scalars Scalars
391, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 29, 38xpsaddlem 14992 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109  csn 4032  cop 4038  con0 4887   cxp 5006  ccnv 5007   crn 5009   wfn 5589  wfo 5592  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  c2o 7142   ccda 8564  cbs 14644   cplusg 14712  Scalarcsca 14715  scprds 14863   s cxps 14923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-prds 14865  df-imas 14925  df-xps 14927 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator