MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsadd Structured version   Unicode version

Theorem xpsadd 14514
Description: Value of the addition operation in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
xpsval.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
xpsval.y  |-  Y  =  ( Base `  S
)
xpsval.1  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
xpsval.2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
xpsadd.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
xpsadd.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
xpsadd.5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
xpsadd.6  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
xpsadd.7  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  C
)  e.  X )
xpsadd.8  |-  ( ph  ->  ( B  .X.  D
)  e.  Y )
xpsadd.m  |-  .x.  =  ( +g  `  R )
xpsadd.n  |-  .X.  =  ( +g  `  S )
xpsadd.p  |-  .xb  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
xpsadd  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.xb  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  .x.  C ) ,  ( B  .X.  D
) >. )

Proof of Theorem xpsadd
Dummy variables  y 
k  c  x  d  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.t . 2  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 xpsval.x . 2  |-  X  =  ( Base `  R
)
3 xpsval.y . 2  |-  Y  =  ( Base `  S
)
4 xpsval.1 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
5 xpsval.2 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
6 xpsadd.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
7 xpsadd.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
8 xpsadd.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
9 xpsadd.6 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
10 xpsadd.7 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  C
)  e.  X )
11 xpsadd.8 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  .X.  D
)  e.  Y )
12 xpsadd.m . 2  |-  .x.  =  ( +g  `  R )
13 xpsadd.n . 2  |-  .X.  =  ( +g  `  S )
14 xpsadd.p . 2  |-  .xb  =  ( +g  `  T )
15 eqid 2443 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
16 eqid 2443 . 2  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
1715xpsff1o2 14509 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
18 f1ocnv 5653 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
) )
1917, 18mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y ) )
20 f1ofo 5648 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -1-1-onto-> ( X  X.  Y
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ran  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) -onto-> ( X  X.  Y ) )
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
-onto-> ( X  X.  Y
) )
2219f1ocpbl 14463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  /\  b  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )  /\  ( c  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  d  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) ) )  ->  (
( ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  a )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  c )  /\  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  b )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  d ) )  ->  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
a ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) b ) )  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  (
c ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) d ) ) ) )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
241, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpsval 14510 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
251, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpslem 14511 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
26 ovex 6116 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  _V )
28 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
2921, 22, 24, 25, 27, 28, 14imasaddval 14470 . 2  |-  ( (
ph  /\  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D } )  e. 
ran  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { A }  +c  { B } ) )  .xb  ( `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) `
 `' ( { C }  +c  { D } ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) `  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) ) ) )
30 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
31 fvex 5701 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
33 2on 6928 . . . 4  |-  2o  e.  On
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  2o  e.  On )
35 simp1 988 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { R }  +c  { S } )  Fn  2o )
36 simp2 989 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { A }  +c  { B } )  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
37 simp3 990 . . 3  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  `' ( { C }  +c  { D } )  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
3816, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 28prdsplusgval 14411 . 2  |-  ( ( `' ( { R }  +c  { S }
)  Fn  2o  /\  `' ( { A }  +c  { B }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  /\  `' ( { C }  +c  { D }
)  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )  ->  ( `' ( { A }  +c  { B } ) ( +g  `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) `' ( { C }  +c  { D } ) )  =  ( k  e.  2o  |->  ( ( `' ( { A }  +c  { B }
) `  k )
( +g  `  ( `' ( { R }  +c  { S } ) `
 k ) ) ( `' ( { C }  +c  { D } ) `  k
) ) ) )
391, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 29, 38xpsaddlem 14513 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. 
.xb  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  .x.  C ) ,  ( B  .X.  D
) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   {csn 3877   <.cop 3883   Oncon0 4719    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   ran crn 4841    Fn wfn 5413   -onto->wfo 5416   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   2oc2o 6914    +c ccda 8336   Basecbs 14174   +g cplusg 14238  Scalarcsca 14241   X_scprds 14384    X.s cxps 14444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-prds 14386  df-imas 14446  df-xps 14448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator