MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xposdif Structured version   Unicode version

Theorem xposdif 11458
Description: Extended real version of posdif 10046. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xposdif  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B +e  -e A ) ) )

Proof of Theorem xposdif
StepHypRef Expression
1 xnegcl 11416 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
2 xaddcl 11440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
31, 2sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
4 xlt0neg1 11422 . . 3  |-  ( ( A +e  -e B )  e. 
RR*  ->  ( ( A +e  -e
B )  <  0  <->  0  <  -e ( A +e  -e
B ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A +e  -e B )  <  0  <->  0  <  -e
( A +e  -e B ) ) )
6 xsubge0 11457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
76notbid 294 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  0  <_  ( A +e  -e
B )  <->  -.  B  <_  A ) )
8 0xr 9638 . . . 4  |-  0  e.  RR*
9 xrltnle 9651 . . . 4  |-  ( ( ( A +e  -e B )  e. 
RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( A +e  -e
B )  <  0  <->  -.  0  <_  ( A +e  -e B ) ) )
103, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A +e  -e B )  <  0  <->  -.  0  <_  ( A +e  -e B ) ) )
11 xrltnle 9651 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
127, 10, 113bitr4d 285 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A +e  -e B )  <  0  <->  A  <  B ) )
13 xnegdi 11444 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  -> 
-e ( A +e  -e
B )  =  ( 
-e A +e  -e  -e
B ) )
141, 13sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e
( A +e  -e B )  =  (  -e A +e  -e  -e B ) )
15 xnegneg 11417 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e  -e B  =  B )
1615oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR*  ->  (  -e A +e  -e  -e B )  =  (  -e A +e
B ) )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e A +e  -e  -e B )  =  (  -e A +e
B ) )
18 xnegcl 11416 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
19 xaddcom 11441 . . . . 5  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e
A +e B )  =  ( B +e  -e
A ) )
2018, 19sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e A +e
B )  =  ( B +e  -e A ) )
2114, 17, 203eqtrd 2486 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e
( A +e  -e B )  =  ( B +e  -e A ) )
2221breq2d 4445 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <  -e ( A +e  -e B )  <->  0  <  ( B +e  -e A ) ) )
235, 12, 223bitr3d 283 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B +e  -e A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   0cc0 9490   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    -ecxne 11319   +ecxad 11320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-xneg 11322  df-xadd 11323
This theorem is referenced by:  blcld  20874  metdstri  21221
  Copyright terms: Public domain W3C validator