MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xposdif Structured version   Unicode version

Theorem xposdif 11328
Description: Extended real version of posdif 9935. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xposdif  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B +e  -e A ) ) )

Proof of Theorem xposdif
StepHypRef Expression
1 xnegcl 11286 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
2 xaddcl 11310 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
31, 2sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
4 xlt0neg1 11292 . . 3  |-  ( ( A +e  -e B )  e. 
RR*  ->  ( ( A +e  -e
B )  <  0  <->  0  <  -e ( A +e  -e
B ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A +e  -e B )  <  0  <->  0  <  -e
( A +e  -e B ) ) )
6 xsubge0 11327 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( A +e  -e B )  <->  B  <_  A ) )
76notbid 294 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  0  <_  ( A +e  -e
B )  <->  -.  B  <_  A ) )
8 0xr 9533 . . . 4  |-  0  e.  RR*
9 xrltnle 9546 . . . 4  |-  ( ( ( A +e  -e B )  e. 
RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( A +e  -e
B )  <  0  <->  -.  0  <_  ( A +e  -e B ) ) )
103, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A +e  -e B )  <  0  <->  -.  0  <_  ( A +e  -e B ) ) )
11 xrltnle 9546 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
127, 10, 113bitr4d 285 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A +e  -e B )  <  0  <->  A  <  B ) )
13 xnegdi 11314 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  -> 
-e ( A +e  -e
B )  =  ( 
-e A +e  -e  -e
B ) )
141, 13sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e
( A +e  -e B )  =  (  -e A +e  -e  -e B ) )
15 xnegneg 11287 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e  -e B  =  B )
1615oveq2d 6208 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR*  ->  (  -e A +e  -e  -e B )  =  (  -e A +e
B ) )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e A +e  -e  -e B )  =  (  -e A +e
B ) )
18 xnegcl 11286 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
19 xaddcom 11311 . . . . 5  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e
A +e B )  =  ( B +e  -e
A ) )
2018, 19sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e A +e
B )  =  ( B +e  -e A ) )
2114, 17, 203eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e
( A +e  -e B )  =  ( B +e  -e A ) )
2221breq2d 4404 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <  -e ( A +e  -e B )  <->  0  <  ( B +e  -e A ) ) )
235, 12, 223bitr3d 283 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B +e  -e A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392  (class class class)co 6192   0cc0 9385   RR*cxr 9520    < clt 9521    <_ cle 9522    -ecxne 11189   +ecxad 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-xneg 11192  df-xadd 11193
This theorem is referenced by:  blcld  20198  metdstri  20545
  Copyright terms: Public domain W3C validator