MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpomen Structured version   Unicode version

Theorem xpomen 8182
Description: The Cartesian product of omega (the set of ordinal natural numbers) with itself is equinumerous to omega. Exercise 1 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
xpomen  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om

Proof of Theorem xpomen
StepHypRef Expression
1 omelon 7852 . 2  |-  om  e.  On
2 ssid 3375 . 2  |-  om  C_  om
3 infxpen 8181 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  om  C_  om )  ->  ( om  X.  om )  ~~  om )
41, 2, 3mp2an 672 1  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   Oncon0 4719    X. cxp 4838   omcom 6476    ~~ cen 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-oi 7724  df-card 8109
This theorem is referenced by:  infxpenc2  8188  infxpenc2OLD  8192  iunfictbso  8284  unctb  8374  iunctb  8738  xpnnen  13491  rexpen  13510  2ndcctbss  19059  tx1stc  19223  tx2ndc  19224  met2ndci  20097  dyadmbl  21080  xpct  26010  fnct  26013
  Copyright terms: Public domain W3C validator