Theorem xpmapenlem5 5594

Description: Lemma for xpmapen 5595.

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. _V
xpmapen.2	|- B e. _V
xpmapen.3	|- C e. _V
xpmapenlem.4	|- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
xpmapenlem.5	|- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
xpmapenlem.6	|- S = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)}

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem5	|- ((A X. B) ^m C) ~~ ((A ^m C) X. (B ^m C))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   y,D   y,R   x,S

Proof of Theorem xpmapenlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. 2 |- ((A X. B) ^m C) e. _V
2		opex 3527	. . 3 |- <.D, R>. e. _V
3	2	a1i 8	. 2 |- (x e. ((A X. B) ^m C) -> <.D, R>. e. _V)
4		xpmapen.3	. . . 4 |- C e. _V
5		xpmapenlem.6	. . . 4 |- S = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)}
6	4, 5	fopabex2 4541	. . 3 |- S e. _V
7	6	a1i 8	. 2 |- (y e. ((A ^m C) X. (B ^m C)) -> S e. _V)
8		xpmapenlem.5	. . . . . . . . . . 11 |- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
9	4, 8	fopabex2 4541	. . . . . . . . . 10 |- R e. _V
10	9	opelxp 4036	. . . . . . . . 9 |- (<.D, R>. e. (_V X. _V) <-> (D e. _V /\ R e. _V))
11		xpmapenlem.4	. . . . . . . . . 10 |- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
12	4, 11	fopabex2 4541	. . . . . . . . 9 |- D e. _V
13	10, 12, 9	mpbir2an 800	. . . . . . . 8 |- <.D, R>. e. (_V X. _V)
14		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (y = <.D, R>. -> (y e. (_V X. _V) <-> <.D, R>. e. (_V X. _V)))
15	13, 14	mpbiri 211	. . . . . . 7 |- (y = <.D, R>. -> y e. (_V X. _V))
16	15	adantl 424	. . . . . 6 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> y e. (_V X. _V))
17		elxp4 4379	. . . . . . 7 |- (y e. (_V X. _V) <-> (y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y} e. _V /\ U.ran { y} e. _V)))
18	17	simplbi 349	. . . . . 6 |- (y e. (_V X. _V) -> y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>.)
19	16, 18	syl 12	. . . . 5 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>.)
20	12	op1sta 4372	. . . . . . . . . 10 |- U.dom {<.D, R>.} = D
21		sneq 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.D, R>. -> {y} = {<.D, R>.})
22	21	dmeqd 4159	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.D, R>. -> dom { y} = dom {<.D, R>.})
23	22	unieqd 3188	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.D, R>. -> U.dom { y} = U.dom {<.D, R>.})
24		xpmapen.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A e. _V
25		xpmapen.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. _V
26	24, 25, 4, 11, 8, 5	xpmapenlem1 5590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y = <.D, R>. -> A.z y = <.D, R>.) /\ (y = <.D, R>. -> A.w y = <.D, R>.))
27	26	simpli 347	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.D, R>. -> A.z y = <.D, R>.)
28	26	simpri 351	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.D, R>. -> A.w y = <.D, R>.)
29	24, 25, 4, 11, 8, 5	xpmapenlem2 5591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> ((U.dom { y}` z) = U.dom {(x` z)} /\ (U.ran { y}` z) = U.ran {(x` z)}))
30	29	simplld 348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> (U.dom { y}` z) = U.dom {(x` z)})
31	30	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> (w = (U.dom { y}` z) <-> w = U.dom {(x` z)}))
32	31	pm5.32da 711	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.D, R>. -> ((z e. C /\ w = (U.dom { y}` z)) <-> (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})))
33	27, 28, 32	opabbid 3399	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.D, R>. -> {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
34	33, 11	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.D, R>. -> {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} = D)
35	20, 23, 34	3eqtr4a 1954	. . . . . . . . 9 |- (y = <.D, R>. -> U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))})
36	12, 9	op2nda 4377	. . . . . . . . . 10 |- U.ran {<.D, R>.} = R
37	21	rneqd 4188	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.D, R>. -> ran { y} = ran {<.D, R>.})
38	37	unieqd 3188	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.D, R>. -> U.ran { y} = U.ran {<.D, R>.})
39	29	simprd 352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> (U.ran { y}` z) = U.ran {(x` z)})
40	39	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> (w = (U.ran { y}` z) <-> w = U.ran {(x` z)}))
41	40	pm5.32da 711	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.D, R>. -> ((z e. C /\ w = (U.ran { y}` z)) <-> (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})))
42	27, 28, 41	opabbid 3399	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.D, R>. -> {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
43	42, 8	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.D, R>. -> {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))} = R)
44	36, 38, 43	3eqtr4a 1954	. . . . . . . . 9 |- (y = <.D, R>. -> U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))})
45	35, 44	jca 310	. . . . . . . 8 |- (y = <.D, R>. -> (U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} /\ U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))}))
46	45	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> (U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} /\ U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))}))
47		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . 10 |- ((x:C-->(A X. B) /\ z e. C) -> (x` z) e. (A X. B))
48	47	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . 9 |- (x:C-->(A X. B) -> A.z e. C (x` z) e. (A X. B))
49	48	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> A.z e. C (x` z) e. (A X. B))
50		ax-17 1317	. . . . . . . . . . 11 |- (x:C-->(A X. B) -> A.z x:C-->(A X. B))
51	50, 27	hban 1356	. . . . . . . . . 10 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> A.z(x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.))
52	24, 25, 4, 11, 8, 5	xpmapenlem3 5592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> x = S)
53	52	fveq1d 4683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> (x` z) = (S` z))
54		opex 3527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>. e. _V
55		fvopab2 4754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. C /\ <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>. e. _V) -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)}` z) = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)
56	54, 55	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. C -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)}` z) = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)
57	5	fveq1i 4682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (S` z) = ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)}` z)
58	56, 57	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. C -> (S` z) = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)
59	53, 58	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) /\ z e. C) -> (x` z) = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)
60	59	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) /\ z e. C) -> ((x` z) e. (A X. B) <-> <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>. e. (A X. B)))
61		fvex 4689	. . . . . . . . . . . 12 |- (U.ran { y}` z) e. _V
62	61	opelxp 4036	. . . . . . . . . . 11 |- (<.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>. e. (A X. B) <-> ((U.dom { y}` z) e. A /\ (U.ran { y}` z) e. B))
63	60, 62	syl6bb 595	. . . . . . . . . 10 |- (((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) /\ z e. C) -> ((x` z) e. (A X. B) <-> ((U.dom { y}` z) e. A /\ (U.ran { y}` z) e. B)))
64	51, 63	ralbida 2117	. . . . . . . . 9 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> (A.z e. C (x` z) e. (A X. B) <-> A.z e. C ((U.dom { y}` z) e. A /\ (U.ran { y}` z) e. B)))
65		r19.26 2219	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. C ((U.dom { y}` z) e. A /\ (U.ran { y}` z) e. B) <-> (A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B))
66	64, 65	syl6bb 595	. . . . . . . 8 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> (A.z e. C (x` z) e. (A X. B) <-> (A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B)))
67	49, 66	mpbid 212	. . . . . . 7 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> (A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B))
68	46, 67	jca 310	. . . . . 6 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> ((U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} /\ U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))}) /\ (A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B)))
69		an4 564	. . . . . . 7 |- (((U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} /\ U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))}) /\ (A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B)) <-> ((U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} /\ A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A) /\ (U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))} /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B)))
70		fopabfv 4804	. . . . . . . 8 |- (U.dom { y}:C-->A <-> (U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} /\ A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A))
71		fopabfv 4804	. . . . . . . 8 |- (U.ran { y}:C-->B <-> (U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))} /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B))
72	70, 71	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- ((U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B) <-> ((U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} /\ A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A) /\ (U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))} /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B)))
73	69, 72	bitr4i 193	. . . . . 6 |- (((U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.dom { y}` z))} /\ U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = (U.ran { y}` z))}) /\ (A.z e. C (U.dom { y}` z) e. A /\ A.z e. C (U.ran { y}` z) e. B)) <-> (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B))
74	68, 73	sylib 215	. . . . 5 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B))
75	19, 74, 52	jca31 311	. . . 4 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) -> ((y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B)) /\ x = S))
76	24, 25, 4, 11, 8, 5	xpmapenlem4 5593	. . . 4 |- (((y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B)) /\ x = S) -> (x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.))
77	75, 76	impbii 174	. . 3 |- ((x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.) <-> ((y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B)) /\ x = S))
78	24, 25	xpex 4096	. . . . 5 |- (A X. B) e. _V
79	78, 4	elmap 5393	. . . 4 |- (x e. ((A X. B) ^m C) <-> x:C-->(A X. B))
80	79	anbi1i 539	. . 3 |- ((x e. ((A X. B) ^m C) /\ y = <.D, R>.) <-> (x:C-->(A X. B) /\ y = <.D, R>.))
81		elxp4 4379	. . . . 5 |- (y e. ((A ^m C) X. (B ^m C)) <-> (y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y} e. (A ^m C) /\ U.ran { y} e. (B ^m C))))
82	24, 4	elmap 5393	. . . . . . 7 |- (U.dom { y} e. (A ^m C) <-> U.dom { y}:C-->A)
83	25, 4	elmap 5393	. . . . . . 7 |- (U.ran { y} e. (B ^m C) <-> U.ran { y}:C-->B)
84	82, 83	anbi12i 540	. . . . . 6 |- ((U.dom { y} e. (A ^m C) /\ U.ran { y} e. (B ^m C)) <-> (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B))
85	84	anbi2i 538	. . . . 5 |- ((y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y} e. (A ^m C) /\ U.ran { y} e. (B ^m C))) <-> (y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B)))
86	81, 85	bitri 190	. . . 4 |- (y e. ((A ^m C) X. (B ^m C)) <-> (y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B)))
87	86	anbi1i 539	. . 3 |- ((y e. ((A ^m C) X. (B ^m C)) /\ x = S) <-> ((y = <.U.dom { y}, U.ran { y}>. /\ (U.dom { y}:C-->A /\ U.ran { y}:C-->B)) /\ x = S))
88	77, 80, 87	3bitr4i 200	. 2 |- ((x e. ((A X. B) ^m C) /\ y = <.D, R>.) <-> (y e. ((A ^m C) X. (B ^m C)) /\ x = S))
89	1, 3, 7, 88	en2 5461	1 |- ((A X. B) ^m C) ~~ ((A ^m C) X. (B ^m C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  xpmapen 5595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-en 5427

Copyright terms: Public domain