Theorem xplm 9253

Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. Warning: The HTML proof page is 0.5MB in size.

Hypotheses

Ref	Expression
xplm.a	|- R e. _V
xplm.b	|- S e. _V
xplm.1	|- X = dom dom B
xplm.3	|- Y = dom dom C
xplm.5	|- B e. Met
xplm.6	|- C e. Met
xplm.7	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
xplm.9	|- F:NN-->X
xplm.10	|- G:NN-->Y
xplm.11	|- H = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = <.(F` k), (G` k)>.)}

Assertion

Ref	Expression
xplm	|- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) <-> H(~~>m` D)<.R, S>.)

Distinct variable groups:   x,y,z,B   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   w,k,x,y,z,X   k,Y,w,x,y,z   k,F,w,x,y,z   k,G,w,x,y,z

Proof of Theorem xplm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xplm.1	. . . . 5 |- X = dom dom B
2		xplm.3	. . . . 5 |- Y = dom dom C
3		xplm.5	. . . . 5 |- B e. Met
4		xplm.6	. . . . 5 |- C e. Met
5		xplm.7	. . . . 5 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
6	1, 2, 3, 4, 5	metxp 9111	. . . 4 |- D e. Met
7		opex 3527	. . . 4 |- <.R, S>. e. _V
8		xplm.11	. . . . 5 |- H = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = <.(F` k), (G` k)>.)}
9		xplm.9	. . . . . . 7 |- F:NN-->X
10	9	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (F` k) e. X)
11		xplm.10	. . . . . . 7 |- G:NN-->Y
12	11	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (G` k) e. Y)
13		opelxpi 4040	. . . . . 6 |- (((F` k) e. X /\ (G` k) e. Y) -> <.(F` k), (G` k)>. e. (X X. Y))
14	10, 12, 13	syl11anc 524	. . . . 5 |- (k e. NN -> <.(F` k), (G` k)>. e. (X X. Y))
15	8, 14	fopab 4800	. . . 4 |- H:NN-->(X X. Y)
16		ltso 6681	. . . . . . . . 9 |- < Or RR
17	16	supex 5667	. . . . . . . 8 |- sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ) e. _V
18	17, 5	dmoprab2 5065	. . . . . . 7 |- dom D = ((X X. Y) X. (X X. Y))
19	18	dmeqi 4158	. . . . . 6 |- dom dom D = dom ((X X. Y) X. (X X. Y))
20		dmxpid 4179	. . . . . 6 |- dom ((X X. Y) X. (X X. Y)) = (X X. Y)
21	19, 20	eqtr2i 1909	. . . . 5 |- (X X. Y) = dom dom D
22		1z 7368	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
23		nnuz 7608	. . . . 5 |- NN = (ZZ>=` 1)
24	21, 22, 23	lmbrf 9208	. . . 4 |- ((D e. Met /\ <.R, S>. e. _V /\ H:NN-->(X X. Y)) -> (H(~~>m` D)<.R, S>. <-> (<.R, S>. e. (X X. Y) /\ A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))))
25	6, 7, 15, 24	mp3an 1191	. . 3 |- (H(~~>m` D)<.R, S>. <-> (<.R, S>. e. (X X. Y) /\ A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))))
26		opelxpi 4040	. . . 4 |- ((R e. X /\ S e. Y) -> <.R, S>. e. (X X. Y))
27		xplm.a	. . . . 5 |- R e. _V
28	1	lmcl 9227	. . . . 5 |- ((B e. Met /\ R e. _V /\ F(~~>m` B)R) -> R e. X)
29	3, 27, 28	mp3an12 1181	. . . 4 |- (F(~~>m` B)R -> R e. X)
30		xplm.b	. . . . 5 |- S e. _V
31	2	lmcl 9227	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ S e. _V /\ G(~~>m` C)S) -> S e. Y)
32	4, 30, 31	mp3an12 1181	. . . 4 |- (G(~~>m` C)S -> S e. Y)
33	26, 29, 32	syl2an 503	. . 3 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> <.R, S>. e. (X X. Y))
34	1, 22, 23	lmcvg2 9211	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. Met /\ R e. _V /\ F(~~>m` B)R) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v))
35	3, 34	mp3anl1 1185	. . . . . . . . . 10 |- (((R e. _V /\ F(~~>m` B)R) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v))
36	27, 35	mpanl1 770	. . . . . . . . 9 |- ((F(~~>m` B)R /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v))
37	2, 22, 23	lmcvg2 9211	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ S e. _V /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v))
38	4, 37	mp3anl1 1185	. . . . . . . . . 10 |- (((S e. _V /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v))
39	30, 38	mpanl1 770	. . . . . . . . 9 |- ((G(~~>m` C)S /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v))
40	36, 39	anim12i 360	. . . . . . . 8 |- (((F(~~>m` B)R /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (G(~~>m` C)S /\ (v e. RR /\ 0 < v))) -> (E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)))
41	40	anandirs 571	. . . . . . 7 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)))
42		reeanv 2249	. . . . . . . 8 |- (E.n e. NN E.p e. NN (A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) <-> (E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)))
43		nnre 7112	. . . . . . . . . . . 12 |- (n e. NN -> n e. RR)
44	43	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. NN /\ p e. NN) -> n e. RR)
45		nnre 7112	. . . . . . . . . . . 12 |- (p e. NN -> p e. RR)
46	45	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. NN /\ p e. NN) -> p e. RR)
47		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((n e. RR /\ p e. RR /\ m e. RR) -> ((n <_ p /\ p <_ m) -> n <_ m))
48		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. NN -> m e. RR)
49	47, 43, 45, 48	syl3an 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((n e. NN /\ p e. NN /\ m e. NN) -> ((n <_ p /\ p <_ m) -> n <_ m))
50	49	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ m e. NN) -> ((n <_ p /\ p <_ m) -> n <_ m))
51	50	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ m e. NN) /\ n <_ p) -> (p <_ m -> n <_ m))
52	51	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) /\ m e. NN) -> (p <_ m -> n <_ m))
53	52	ancrd 323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) /\ m e. NN) -> (p <_ m -> (n <_ m /\ p <_ m)))
54	53	imim1d 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) /\ m e. NN) -> (((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
55	54	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
56		simplr 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) -> p e. NN)
57	55, 56	jctild 662	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (p e. NN /\ A.m e. NN (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))))
58		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j = p -> (j <_ m <-> p <_ m))
59	58	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (j = p -> ((j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) <-> (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
60	59	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . 13 |- (j = p -> (A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) <-> A.m e. NN (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
61	60	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- ((p e. NN /\ A.m e. NN (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
62	57, 61	syl6 25	. . . . . . . . . . 11 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
63		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((p e. RR /\ n e. RR /\ m e. RR) -> ((p <_ n /\ n <_ m) -> p <_ m))
64	63, 45, 43, 48	syl3an 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((p e. NN /\ n e. NN /\ m e. NN) -> ((p <_ n /\ n <_ m) -> p <_ m))
65	64	3com12 1071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((n e. NN /\ p e. NN /\ m e. NN) -> ((p <_ n /\ n <_ m) -> p <_ m))
66	65	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ m e. NN) -> ((p <_ n /\ n <_ m) -> p <_ m))
67	66	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ m e. NN) /\ p <_ n) -> (n <_ m -> p <_ m))
68	67	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) /\ m e. NN) -> (n <_ m -> p <_ m))
69	68	ancld 322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) /\ m e. NN) -> (n <_ m -> (n <_ m /\ p <_ m)))
70	69	imim1d 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) /\ m e. NN) -> (((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
71	70	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
72		simpll 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) -> n e. NN)
73	71, 72	jctild 662	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (n e. NN /\ A.m e. NN (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))))
74		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j = n -> (j <_ m <-> n <_ m))
75	74	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (j = n -> ((j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) <-> (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
76	75	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . 13 |- (j = n -> (A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) <-> A.m e. NN (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
77	76	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. NN /\ A.m e. NN (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
78	73, 77	syl6 25	. . . . . . . . . . 11 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
79	44, 46, 62, 78	lecasei 6804	. . . . . . . . . 10 |- ((n e. NN /\ p e. NN) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
80		r19.26 2219	. . . . . . . . . . 11 |- (A.m e. NN ((n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) <-> (A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)))
81		prth 615	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
82	81	ralimi 2168	. . . . . . . . . . 11 |- (A.m e. NN ((n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
83	80, 82	sylbir 218	. . . . . . . . . 10 |- ((A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
84	79, 83	syl5 20	. . . . . . . . 9 |- ((n e. NN /\ p e. NN) -> ((A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
85	84	r19.23aivv 2217	. . . . . . . 8 |- (E.n e. NN E.p e. NN (A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
86	42, 85	sylbir 218	. . . . . . 7 |- ((E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
87	41, 86	syl 12	. . . . . 6 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
88		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F` m) e. _V
89	88	op1st 5026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1st` <.(F` m), (G` m)>.) = (F` m)
90	89	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (F` m) = (1st` <.(F` m), (G` m)>.)
91		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (G` m) e. _V
92	88, 91	op2nd 5027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2nd` <.(F` m), (G` m)>.) = (G` m)
93	92	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (G` m) = (2nd` <.(F` m), (G` m)>.)
94	27	op1st 5026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1st` <.R, S>.) = R
95	94	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R = (1st` <.R, S>.)
96	27, 30	op2nd 5027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2nd` <.R, S>.) = S
97	96	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S = (2nd` <.R, S>.)
98	1, 2, 3, 4, 5, 90, 93, 95, 97	metxpdval 9106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((<.(F` m), (G` m)>. e. (X X. Y) /\ <.R, S>. e. (X X. Y)) -> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)))
99	9	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. NN -> (F` m) e. X)
100	11	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. NN -> (G` m) e. Y)
101		opelxpi 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` m) e. X /\ (G` m) e. Y) -> <.(F` m), (G` m)>. e. (X X. Y))
102	99, 100, 101	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m e. NN -> <.(F` m), (G` m)>. e. (X X. Y))
103	98, 102, 26	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. NN /\ (R e. X /\ S e. Y)) -> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)))
104	103	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)))
105	104	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> ((<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) < v <-> if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) < v))
106		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` m)BR) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) -> (((F` m)BR) < v <-> if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) < v))
107		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((G` m)CS) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) -> (((G` m)CS) < v <-> if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) < v))
108	106, 107	ifboth 3002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v) -> if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) < v)
109	105, 108	syl5bir 227	. . . . . . . . . . . 12 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> ((((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v) -> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) < v))
110		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = m -> (F` k) = (F` m))
111		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = m -> (G` k) = (G` m))
112	110, 111	opeq12d 3166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k = m -> <.(F` k), (G` k)>. = <.(F` m), (G` m)>.)
113		opex 3527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <.(F` m), (G` m)>. e. _V
114	112, 8, 113	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NN -> (H` m) = <.(F` m), (G` m)>.)
115	114	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. NN -> ((H` m)D<.R, S>.) = (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.))
116	115	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. NN -> (((H` m)D<.R, S>.) < v <-> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) < v))
117	116	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> (((H` m)D<.R, S>.) < v <-> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) < v))
118	109, 117	sylibrd 221	. . . . . . . . . . 11 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> ((((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v) -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))
119	29, 32	anim12i 360	. . . . . . . . . . 11 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (R e. X /\ S e. Y))
120	118, 119	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ m e. NN) -> ((((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v) -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))
121	120	imim2d 28	. . . . . . . . 9 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ m e. NN) -> ((j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
122	121	ralimdvaa 2171	. . . . . . . 8 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
123	122	reximdv 2202	. . . . . . 7 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
124	123	adantr 425	. . . . . 6 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
125	87, 124	mpd 29	. . . . 5 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))
126	125	exp32 408	. . . 4 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (v e. RR -> (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))))
127	126	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
128	25, 33, 127	sylanbrc 527	. 2 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> H(~~>m` D)<.R, S>.)
129		ffn 4562	. . . . . . . 8 |- (F:NN-->X -> F Fn NN)
130	9, 129	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- F Fn NN
131		dffn5 4717	. . . . . . 7 |- (F Fn NN <-> F = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (F` m))})
132	130, 131	mpbi 206	. . . . . 6 |- F = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (F` m))}
133	114	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN -> (1st` (H` m)) = (1st` <.(F` m), (G` m)>.))
134	133, 89	syl6eq 1944	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN -> (1st` (H` m)) = (F` m))
135	134	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (m e. NN -> (v = (1st` (H` m)) <-> v = (F` m)))
136	135	pm5.32i 707	. . . . . . 7 |- ((m e. NN /\ v = (1st` (H` m))) <-> (m e. NN /\ v = (F` m)))
137	136	opabbii 3402	. . . . . 6 |- {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (1st` (H` m)))} = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (F` m))}
138	132, 137	eqtr4i 1911	. . . . 5 |- F = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (1st` (H` m)))}
139		ffn 4562	. . . . . . . 8 |- (G:NN-->Y -> G Fn NN)
140	11, 139	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- G Fn NN
141		dffn5 4717	. . . . . . 7 |- (G Fn NN <-> G = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (G` m))})
142	140, 141	mpbi 206	. . . . . 6 |- G = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (G` m))}
143	114	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN -> (2nd` (H` m)) = (2nd` <.(F` m), (G` m)>.))
144	143, 92	syl6eq 1944	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN -> (2nd` (H` m)) = (G` m))
145	144	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (m e. NN -> (v = (2nd` (H` m)) <-> v = (G` m)))
146	145	pm5.32i 707	. . . . . . 7 |- ((m e. NN /\ v = (2nd` (H` m))) <-> (m e. NN /\ v = (G` m)))
147	146	opabbii 3402	. . . . . 6 |- {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (2nd` (H` m)))} = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (G` m))}
148	142, 147	eqtr4i 1911	. . . . 5 |- G = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (2nd` (H` m)))}
149	27, 30, 1, 2, 3, 4, 5, 138, 148	xplmi 9251	. . . 4 |- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)<.R, S>.) -> ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)R) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)S)))
150		simpr 350	. . . . 5 |- ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)R) -> F(~~>m` B)R)
151		simpr 350	. . . . 5 |- ((G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)S) -> G(~~>m` C)S)
152	150, 151	anim12i 360	. . . 4 |- (((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)R) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)S)) -> (F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S))
153	149, 152	syl 12	. . 3 |- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)<.R, S>.) -> (F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S))
154	15, 153	mpan 759	. 2 |- (H(~~>m` D)<.R, S>. -> (F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S))
155	128, 154	impbii 174	1 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) <-> H(~~>m` D)<.R, S>.)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  ifcif 2982  {cpr 3045  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  Metcme 9066  ~~>mclm 9197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-z 7345  df-uz 7587  df-met 9070  df-lm 9200

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