MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpiundir Structured version   Unicode version

Theorem xpiundir 4894
Description: Distributive law for Cartesian product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpiundir  |-  ( U_ x  e.  A  B  X.  C )  =  U_ x  e.  A  ( B  X.  C )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem xpiundir
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2992 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. ) )
2 df-rex 2721 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >.  <->  E. y ( y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. ) )
32rexbii 2740 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >.  <->  E. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. ) )
4 eliun 4175 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
54anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )
)
6 r19.41v 2873 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )
)
75, 6bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )  <->  E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. ) )
87exbii 1634 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. ) )
91, 3, 83bitr4ri 278 . . . 4  |-  ( E. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )
10 df-rex 2721 . . . 4  |-  ( E. y  e.  U_  x  e.  A  B E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >.  <->  E. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )
)
11 elxp2 4858 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  X.  C )  <->  E. y  e.  B  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )
1211rexbii 2740 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )
139, 10, 123bitr4i 277 . . 3  |-  ( E. y  e.  U_  x  e.  A  B E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >.  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( B  X.  C ) )
14 elxp2 4858 . . 3  |-  ( z  e.  ( U_ x  e.  A  B  X.  C )  <->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B E. w  e.  C  z  =  <. y ,  w >. )
15 eliun 4175 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( B  X.  C )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( B  X.  C
) )
1613, 14, 153bitr4i 277 . 2  |-  ( z  e.  ( U_ x  e.  A  B  X.  C )  <->  z  e.  U_ x  e.  A  ( B  X.  C ) )
1716eqriv 2440 1  |-  ( U_ x  e.  A  B  X.  C )  =  U_ x  e.  A  ( B  X.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E.wrex 2716   <.cop 3883   U_ciun 4171    X. cxp 4838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-iun 4173  df-opab 4351  df-xp 4846
This theorem is referenced by:  iunxpconst  4895  resiun2  5130  txbasval  19179  txtube  19213  txcmplem1  19214  ovoliunlem1  20985
  Copyright terms: Public domain W3C validator