MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpiundi Structured version   Unicode version

Theorem xpiundi 5004
Description: Distributive law for Cartesian product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpiundi  |-  ( C  X.  U_ x  e.  A  B )  = 
U_ x  e.  A  ( C  X.  B
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem xpiundi
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom 2988 . . . 4  |-  ( E. w  e.  C  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >. )
2 eliun 4286 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
32anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
43exbii 1635 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )
)
5 df-rex 2805 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
6 df-rex 2805 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
76rexbii 2862 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
) )
8 rexcom4 3098 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
)  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
9 r19.41v 2979 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
109exbii 1635 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
)  <->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
117, 8, 103bitri 271 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
124, 5, 113bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >. )
1312rexbii 2862 . . . 4  |-  ( E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  = 
<. w ,  y >.  <->  E. w  e.  C  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. )
14 elxp2 4969 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( C  X.  B )  <->  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >.
)
1514rexbii 2862 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B )  <->  E. x  e.  A  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >.
)
161, 13, 153bitr4i 277 . . 3  |-  ( E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  = 
<. w ,  y >.  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B ) )
17 elxp2 4969 . . 3  |-  ( z  e.  ( C  X.  U_ x  e.  A  B
)  <->  E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. )
18 eliun 4286 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( C  X.  B )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B
) )
1916, 17, 183bitr4i 277 . 2  |-  ( z  e.  ( C  X.  U_ x  e.  A  B
)  <->  z  e.  U_ x  e.  A  ( C  X.  B ) )
2019eqriv 2450 1  |-  ( C  X.  U_ x  e.  A  B )  = 
U_ x  e.  A  ( C  X.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   E.wrex 2800   <.cop 3994   U_ciun 4282    X. cxp 4949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-iun 4284  df-opab 4462  df-xp 4957
This theorem is referenced by:  xpexgALT  6683  txbasval  19314  txcmplem2  19350  xkoinjcn  19395  cvmlift2lem12  27367
  Copyright terms: Public domain W3C validator