Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xpinpreima2 Structured version   Unicode version

Theorem xpinpreima2 28552
 Description: Rewrite the cartesian product of two sets as the intersection of their preimage by and , the projections on the first and second elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
xpinpreima2

Proof of Theorem xpinpreima2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpss 4961 . . . . . 6
2 rabss2 3550 . . . . . 6
31, 2mp1i 13 . . . . 5
4 simprl 762 . . . . . . 7
5 simpll 758 . . . . . . . . 9
6 simprrl 772 . . . . . . . . 9
75, 6sseldd 3471 . . . . . . . 8
8 simplr 760 . . . . . . . . 9
9 simprrr 773 . . . . . . . . 9
108, 9sseldd 3471 . . . . . . . 8
117, 10jca 534 . . . . . . 7
12 elxp7 6840 . . . . . . 7
134, 11, 12sylanbrc 668 . . . . . 6
1413rabss3d 27984 . . . . 5
153, 14eqssd 3487 . . . 4
16 xp2 6842 . . . 4
1715, 16syl6reqr 2489 . . 3
18 inrab 3751 . . 3
1917, 18syl6eqr 2488 . 2
20 f1stres 6829 . . . . 5
21 ffn 5746 . . . . 5
22 fncnvima2 6019 . . . . 5
2320, 21, 22mp2b 10 . . . 4
24 fvres 5895 . . . . . 6
2524eleq1d 2498 . . . . 5
2625rabbiia 3076 . . . 4
2723, 26eqtri 2458 . . 3
28 f2ndres 6830 . . . . 5
29 ffn 5746 . . . . 5
30 fncnvima2 6019 . . . . 5
3128, 29, 30mp2b 10 . . . 4
32 fvres 5895 . . . . . 6
3332eleq1d 2498 . . . . 5
3433rabbiia 3076 . . . 4
3531, 34eqtri 2458 . . 3
3627, 35ineq12i 3668 . 2
3719, 36syl6eqr 2488 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  crab 2786  cvv 3087   cin 3441   wss 3442   cxp 4852  ccnv 4853   cres 4856  cima 4857   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  c1st 6805  c2nd 6806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-1st 6807  df-2nd 6808 This theorem is referenced by:  cnre2csqima  28556  sxbrsigalem2  28947  sxbrsiga  28951
 Copyright terms: Public domain W3C validator