Theorem xpexr 4352

Description: If a cross product is a set, one of its components must be a set.

Assertion

Ref	Expression
xpexr	|- ((A X. B) e. C -> (A e. _V \/ B e. _V))

Proof of Theorem xpexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3446	. . . . . 6 |- (/) e. _V
2		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (A = (/) -> (A e. _V <-> (/) e. _V))
3	1, 2	mpbiri 211	. . . . 5 |- (A = (/) -> A e. _V)
4	3	pm2.24d 120	. . . 4 |- (A = (/) -> (-. A e. _V -> B e. _V))
5	4	a1d 15	. . 3 |- (A = (/) -> ((A X. B) e. C -> (-. A e. _V -> B e. _V)))
6		rnxp 4342	. . . . . 6 |- (A =/= (/) -> ran ( A X. B) = B)
7	6	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (A =/= (/) -> (ran ( A X. B) e. _V <-> B e. _V))
8		rnexg 4207	. . . . 5 |- ((A X. B) e. C -> ran ( A X. B) e. _V)
9	7, 8	syl5bi 225	. . . 4 |- (A =/= (/) -> ((A X. B) e. C -> B e. _V))
10	9	a1dd 53	. . 3 |- (A =/= (/) -> ((A X. B) e. C -> (-. A e. _V -> B e. _V)))
11	5, 10	pm2.61ine 2089	. 2 |- ((A X. B) e. C -> (-. A e. _V -> B e. _V))
12	11	orrd 250	1 |- ((A X. B) e. C -> (A e. _V \/ B e. _V))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875   X. cxp 3984  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  ismsg 9077

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain