Theorem xpdom2 7672

Description: Dominance law for Cartesian product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpdom.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpdom2	|- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )

Proof of Theorem xpdom2

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7585	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2		f1f 5784	. . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
3		ffvelrn 6025	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ U. ran { x } e. A ) -> ( f ` U. ran { x } ) e. B )
4	3	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> B -> ( U. ran { x } e. A -> ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-> B -> ( U. ran { x } e. A -> ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
6	5	anim2d 569	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) -> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) ) )
7	6	adantld 469	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( x = <. U. dom { x } , U. ran { x } >. /\ ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) ) -> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) ) )
8		elxp4 6742	. . . . 5 |- ( x e. ( C X. A ) <-> ( x = <. U. dom { x } , U. ran { x } >. /\ ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) ) )
9		opelxp 4867	. . . . 5 |- ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) <-> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
10	7, 8, 9	3imtr4g 274	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( x e. ( C X. A ) -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) ) )
11	10	adantl 468	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( x e. ( C X. A ) -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) ) )
12		elxp2 4855	. . . . . 6 |- ( x e. ( C X. A ) <-> E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. )
13		elxp2 4855	. . . . . 6 |- ( y e. ( C X. A ) <-> E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. )
14		vex 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
15		fvex 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` w ) e. _V
16	14, 15	opth 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ ( f ` w ) = ( f ` u ) ) )
17		f1fveq 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ u e. A ) ) -> ( ( f ` w ) = ( f ` u ) <-> w = u ) )
18	17	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( f ` w ) = ( f ` u ) <-> w = u ) )
19	18	anbi2d 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( z = v /\ ( f ` w ) = ( f ` u ) ) <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
20	16, 19	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
21	20	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. A /\ u e. A ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) ) )
22	21	ad2ant2l 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) ) )
23	22	imp 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
24	23	adantlr 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
25		sneq 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> { x } = { <. z , w >. } )
26	25	dmeqd 5040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , w >. -> dom { x } = dom { <. z , w >. } )
27	26	unieqd 4211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , w >. -> U. dom { x } = U. dom { <. z , w >. } )
28		vex 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- w e. _V
29	14, 28	op1sta 5321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. dom { <. z , w >. } = z
30	27, 29	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = <. z , w >. -> U. dom { x } = z )
31	25	rneqd 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> ran { x } = ran { <. z , w >. } )
32	31	unieqd 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , w >. -> U. ran { x } = U. ran { <. z , w >. } )
33	14, 28	op2nda 5324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ran { <. z , w >. } = w
34	32, 33	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , w >. -> U. ran { x } = w )
35	34	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = <. z , w >. -> ( f ` U. ran { x } ) = ( f ` w ) )
36	30, 35	opeq12d 4177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = <. z , w >. -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. z , ( f ` w ) >. )
37		sneq 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> { y } = { <. v , u >. } )
38	37	dmeqd 5040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. v , u >. -> dom { y } = dom { <. v , u >. } )
39	38	unieqd 4211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. v , u >. -> U. dom { y } = U. dom { <. v , u >. } )
40		vex 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- v e. _V
41		vex 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- u e. _V
42	40, 41	op1sta 5321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. dom { <. v , u >. } = v
43	39, 42	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. v , u >. -> U. dom { y } = v )
44	37	rneqd 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> ran { y } = ran { <. v , u >. } )
45	44	unieqd 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. v , u >. -> U. ran { y } = U. ran { <. v , u >. } )
46	40, 41	op2nda 5324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ran { <. v , u >. } = u
47	45, 46	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. v , u >. -> U. ran { y } = u )
48	47	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. v , u >. -> ( f ` U. ran { y } ) = ( f ` u ) )
49	43, 48	opeq12d 4177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = <. v , u >. -> <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. = <. v , ( f ` u ) >. )
50	36, 49	eqeqan12d 2469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. ) )
51	50	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. ) )
52		eqeq12 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( x = y <-> <. z , w >. = <. v , u >. ) )
53	14, 28	opth 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
54	52, 53	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( x = y <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
55	54	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( x = y <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
56	24, 51, 55	3bitr4d 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) )
57	56	exp53 623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ w e. A ) -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( x = <. z , w >. -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) ) )
58	57	com23 81	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. C /\ w e. A ) -> ( x = <. z , w >. -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) ) )
59	58	rexlimivv 2886	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) )
60	59	rexlimdvv 2887	. . . . . . 7 |- ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. -> ( E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) )
61	60	imp 431	. . . . . 6 |- ( ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. /\ E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
62	12, 13, 61	syl2anb 482	. . . . 5 |- ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
63	62	com12 32	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
64	63	adantl 468	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
65		xpdom.2	. . . . 5 |- C e. _V
66		reldom 7580	. . . . . 6 |- Rel ~<_
67	66	brrelexi 4878	. . . . 5 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
68		xpexg 6598	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C X. A ) e. _V )
69	65, 67, 68	sylancr 670	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) e. _V )
70	69	adantr 467	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. A ) e. _V )
71	66	brrelex2i 4879	. . . . 5 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
72		xpexg 6598	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. _V ) -> ( C X. B ) e. _V )
73	65, 71, 72	sylancr 670	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> ( C X. B ) e. _V )
74	73	adantr 467	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. B ) e. _V )
75	11, 64, 70, 74	dom3d 7616	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )
76	1, 75	exlimddv 1783	1 |- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   {csn 3970   <.cop 3976   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5581   -1-1->wf1 5582   ` cfv 5585   ~<_ cdom 7572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fv 5593  df-dom 7576

This theorem is referenced by:  xpdom2g  7673  infxpenlem  8449  xpct  8452  cfpwsdom  9014  inar1  9205  rexpen  14292  2ndcctbss  20482  tx1stc  20677  tx2ndc  20678  met2ndci  21549  mbfimaopnlem  22623