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Theorem xpdifid 5283
Description: The set of distinct couples in a Cartesian product. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpdifid  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) )  =  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem xpdifid
Dummy variables  i 
j  p  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4869 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
21rexbii 2900 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. x  e.  A  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
3 rexcom4 3078 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. x  e.  A  E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) ) ) )
4 rexcom4 3078 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) ) )  <->  E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
54exbii 1728 . . . 4  |-  ( E. i E. x  e.  A  E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
62, 3, 53bitri 279 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
7 eliun 4296 . . 3  |-  ( p  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. x  e.  A  p  e.  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) ) )
8 eldif 3425 . . . . . . 7  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<->  ( <. i ,  j
>.  e.  ( A  X.  B )  /\  -.  <.
i ,  j >.  e.  _I  ) )
9 opelxp 4882 . . . . . . . 8  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( i  e.  A  /\  j  e.  B ) )
10 df-br 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  _I  j  <->  <. i ,  j >.  e.  _I  )
11 vex 3059 . . . . . . . . . . 11  |-  j  e. 
_V
1211ideq 5005 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  _I  j  <->  i  =  j )
1310, 12bitr3i 259 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  _I  <->  i  =  j )
1413necon3bbii 2682 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
<. i ,  j >.  e.  _I  <->  i  =/=  j
)
159, 14anbi12i 708 . . . . . . 7  |-  ( (
<. i ,  j >.  e.  ( A  X.  B
)  /\  -.  <. i ,  j >.  e.  _I  ) 
<->  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
168, 15bitri 257 . . . . . 6  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<->  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
1716anbi2i 705 . . . . 5  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  <->  ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) ) )
18172exbii 1729 . . . 4  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
19 eldifi 3566 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  p  e.  ( A  X.  B
) )
20 elxpi 4868 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( A  X.  B )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  A  /\  j  e.  B
) ) )
21 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  B )
)  ->  p  =  <. i ,  j >.
)
22212eximi 1718 . . . . . . . . 9  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  B )
)  ->  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
)
2319, 20, 223syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
)
2423ancli 558 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
) )
25 19.42vv 1846 . . . . . . 7  |-  ( E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >. )
)
2624, 25sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )
)
27 ancom 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  p  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
28 eleq1 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  <. i ,  j
>.  ->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<-> 
<. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) )
2928adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  ->  (
p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  <->  <. i ,  j >.  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
3029pm5.32da 651 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
3127, 30syl5bb 265 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
32312exbidv 1780 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
3326, 32mpbid 215 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) )
3428biimpar 492 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  ->  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )
3534exlimivv 1788 . . . . 5  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  ->  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )
3633, 35impbii 192 . . . 4  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
37 r19.42v 2956 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  E. x  e.  A  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
38 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  e.  { y } )
39 elsn 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  { y }  <-> 
i  =  y )
4038, 39sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  =  y )
41 simpl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  y  e.  A )
4240, 41eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  e.  A )
43 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  e.  ( B  \  { y } ) )
4443eldifad 3427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  e.  B )
4543eldifbd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  -.  j  e.  { y } )
46 elsn 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  { y }  <-> 
j  =  y )
4746necon3bbii 2682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  j  e.  { y }  <->  j  =/=  y
)
4845, 47sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  =/=  y )
4948necomd 2690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  y  =/=  j )
5040, 49eqnetrd 2702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  =/=  j )
5142, 44, 50jca31 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
5251adantll 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E. x  e.  A  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  /\  y  e.  A )  /\  (
i  e.  { y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
53 sneq 3989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
5453eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  { x } 
<->  i  e.  { y } ) )
5553difeq2d 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { y } ) )
5655eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  ( B 
\  { x }
)  <->  j  e.  ( B  \  { y } ) ) )
5754, 56anbi12d 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) )  <-> 
( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) ) )
5857cbvrexv 3031 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. y  e.  A  ( i  e.  { y }  /\  j  e.  ( B  \  { y } ) ) )
5958biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  ->  E. y  e.  A  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )
6052, 59r19.29a 2943 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  -> 
( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
61 simpll 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  e.  A )
62 ssnid 4008 . . . . . . . . . 10  |-  i  e. 
{ i }
6362a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  e.  { i } )
64 simplr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  e.  B )
65 simpr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  =/=  j )
6665necomd 2690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  =/=  i )
67 elsn 3993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { i }  <-> 
j  =  i )
6867necon3bbii 2682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  j  e.  { i }  <->  j  =/=  i
)
6966, 68sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  -.  j  e.  { i } )
7064, 69eldifd 3426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  e.  ( B  \  {
i } ) )
71 sneq 3989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  { x }  =  { i } )
7271eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
i  e.  { x } 
<->  i  e.  { i } ) )
7371difeq2d 3562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { i } ) )
7473eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
j  e.  ( B 
\  { x }
)  <->  j  e.  ( B  \  { i } ) ) )
7572, 74anbi12d 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) )  <-> 
( i  e.  {
i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) ) )
7675rspcev 3161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( i  e.  {
i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )
7761, 63, 70, 76syl12anc 1274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )
7860, 77impbii 192 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  <->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
7978anbi2i 705 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  E. x  e.  A  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
8037, 79bitri 257 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
81802exbii 1729 . . . 4  |-  ( E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
8218, 36, 813bitr4i 285 . . 3  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
836, 7, 823bitr4i 285 . 2  |-  ( p  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  p  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
)
8483eqriv 2458 1  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) )  =  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897    =/= wne 2632   E.wrex 2749    \ cdif 3412   {csn 3979   <.cop 3985   U_ciun 4291   class class class wbr 4415    _I cid 4762    X. cxp 4850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859
This theorem is referenced by:  tglnfn  24640
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