MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpdifid Structured version   Unicode version

Theorem xpdifid 5227
Description: The set of distinct couples in a Cartesian product. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpdifid  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) )  =  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem xpdifid
Dummy variables  i 
j  p  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4813 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
21rexbii 2866 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. x  e.  A  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
3 rexcom4 3043 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. x  e.  A  E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) ) ) )
4 rexcom4 3043 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) ) )  <->  E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
54exbii 1712 . . . 4  |-  ( E. i E. x  e.  A  E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
62, 3, 53bitri 274 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
7 eliun 4247 . . 3  |-  ( p  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. x  e.  A  p  e.  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) ) )
8 eldif 3389 . . . . . . 7  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<->  ( <. i ,  j
>.  e.  ( A  X.  B )  /\  -.  <.
i ,  j >.  e.  _I  ) )
9 opelxp 4826 . . . . . . . 8  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( i  e.  A  /\  j  e.  B ) )
10 df-br 4367 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  _I  j  <->  <. i ,  j >.  e.  _I  )
11 vex 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  j  e. 
_V
1211ideq 4949 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  _I  j  <->  i  =  j )
1310, 12bitr3i 254 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  _I  <->  i  =  j )
1413necon3bbii 2648 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
<. i ,  j >.  e.  _I  <->  i  =/=  j
)
159, 14anbi12i 701 . . . . . . 7  |-  ( (
<. i ,  j >.  e.  ( A  X.  B
)  /\  -.  <. i ,  j >.  e.  _I  ) 
<->  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
168, 15bitri 252 . . . . . 6  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<->  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
1716anbi2i 698 . . . . 5  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  <->  ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) ) )
18172exbii 1713 . . . 4  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
19 eldifi 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  p  e.  ( A  X.  B
) )
20 elxpi 4812 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( A  X.  B )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  A  /\  j  e.  B
) ) )
21 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  B )
)  ->  p  =  <. i ,  j >.
)
22212eximi 1702 . . . . . . . . 9  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  B )
)  ->  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
)
2319, 20, 223syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
)
2423ancli 553 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
) )
25 19.42vv 1829 . . . . . . 7  |-  ( E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >. )
)
2624, 25sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )
)
27 ancom 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  p  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
28 eleq1 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  <. i ,  j
>.  ->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<-> 
<. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) )
2928adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  ->  (
p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  <->  <. i ,  j >.  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
3029pm5.32da 645 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
3127, 30syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
32312exbidv 1764 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
3326, 32mpbid 213 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) )
3428biimpar 487 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  ->  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )
3534exlimivv 1771 . . . . 5  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  ->  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )
3633, 35impbii 190 . . . 4  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
37 r19.42v 2922 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  E. x  e.  A  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
38 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  e.  { y } )
39 elsn 3955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  { y }  <-> 
i  =  y )
4038, 39sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  =  y )
41 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  y  e.  A )
4240, 41eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  e.  A )
43 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  e.  ( B  \  { y } ) )
4443eldifad 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  e.  B )
4543eldifbd 3392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  -.  j  e.  { y } )
46 elsn 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  { y }  <-> 
j  =  y )
4746necon3bbii 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  j  e.  { y }  <->  j  =/=  y
)
4845, 47sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  =/=  y )
4948necomd 2656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  y  =/=  j )
5040, 49eqnetrd 2668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  =/=  j )
5142, 44, 50jca31 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
5251adantll 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E. x  e.  A  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  /\  y  e.  A )  /\  (
i  e.  { y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
53 sneq 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
5453eleq2d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  { x } 
<->  i  e.  { y } ) )
5553difeq2d 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { y } ) )
5655eleq2d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  ( B 
\  { x }
)  <->  j  e.  ( B  \  { y } ) ) )
5754, 56anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) )  <-> 
( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) ) )
5857cbvrexv 2997 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. y  e.  A  ( i  e.  { y }  /\  j  e.  ( B  \  { y } ) ) )
5958biimpi 197 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  ->  E. y  e.  A  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )
6052, 59r19.29a 2909 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  -> 
( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
61 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  e.  A )
62 ssnid 3970 . . . . . . . . . 10  |-  i  e. 
{ i }
6362a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  e.  { i } )
64 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  e.  B )
65 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  =/=  j )
6665necomd 2656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  =/=  i )
67 elsn 3955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { i }  <-> 
j  =  i )
6867necon3bbii 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  j  e.  { i }  <->  j  =/=  i
)
6966, 68sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  -.  j  e.  { i } )
7064, 69eldifd 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  e.  ( B  \  {
i } ) )
71 sneq 3951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  { x }  =  { i } )
7271eleq2d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
i  e.  { x } 
<->  i  e.  { i } ) )
7371difeq2d 3526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { i } ) )
7473eleq2d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
j  e.  ( B 
\  { x }
)  <->  j  e.  ( B  \  { i } ) ) )
7572, 74anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) )  <-> 
( i  e.  {
i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) ) )
7675rspcev 3125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( i  e.  {
i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )
7761, 63, 70, 76syl12anc 1262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )
7860, 77impbii 190 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  <->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
7978anbi2i 698 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  E. x  e.  A  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
8037, 79bitri 252 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
81802exbii 1713 . . . 4  |-  ( E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
8218, 36, 813bitr4i 280 . . 3  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
836, 7, 823bitr4i 280 . 2  |-  ( p  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  p  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
)
8483eqriv 2425 1  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) )  =  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   E.wrex 2715    \ cdif 3376   {csn 3941   <.cop 3947   U_ciun 4242   class class class wbr 4366    _I cid 4706    X. cxp 4794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803
This theorem is referenced by:  tglnfn  24534
  Copyright terms: Public domain W3C validator