MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpdifid Structured version   Unicode version

Theorem xpdifid 5420
Description: The set of distinct couples in a Cartesian product. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpdifid  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) )  =  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem xpdifid
Dummy variables  i 
j  p  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5005 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
21rexbii 2956 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. x  e.  A  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
3 rexcom4 3126 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. x  e.  A  E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) ) ) )
4 rexcom4 3126 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) ) )  <->  E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
54exbii 1672 . . . 4  |-  ( E. i E. x  e.  A  E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
62, 3, 53bitri 271 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
7 eliun 4320 . . 3  |-  ( p  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. x  e.  A  p  e.  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) ) )
8 eldif 3471 . . . . . . 7  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<->  ( <. i ,  j
>.  e.  ( A  X.  B )  /\  -.  <.
i ,  j >.  e.  _I  ) )
9 opelxp 5018 . . . . . . . 8  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( i  e.  A  /\  j  e.  B ) )
10 df-br 4440 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  _I  j  <->  <. i ,  j >.  e.  _I  )
11 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  j  e. 
_V
1211ideq 5144 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  _I  j  <->  i  =  j )
1310, 12bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  _I  <->  i  =  j )
1413necon3bbii 2715 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
<. i ,  j >.  e.  _I  <->  i  =/=  j
)
159, 14anbi12i 695 . . . . . . 7  |-  ( (
<. i ,  j >.  e.  ( A  X.  B
)  /\  -.  <. i ,  j >.  e.  _I  ) 
<->  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
168, 15bitri 249 . . . . . 6  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<->  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
1716anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  <->  ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) ) )
18172exbii 1673 . . . 4  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
19 eldifi 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  p  e.  ( A  X.  B
) )
20 elxpi 5004 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( A  X.  B )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  A  /\  j  e.  B
) ) )
21 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  B )
)  ->  p  =  <. i ,  j >.
)
22212eximi 1662 . . . . . . . . 9  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  B )
)  ->  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
)
2319, 20, 223syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
)
2423ancli 549 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
) )
25 19.42vv 1782 . . . . . . 7  |-  ( E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >. )
)
2624, 25sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )
)
27 ancom 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  p  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
28 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  <. i ,  j
>.  ->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<-> 
<. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) )
2928adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  ->  (
p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  <->  <. i ,  j >.  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
3029pm5.32da 639 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
3127, 30syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
32312exbidv 1721 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
3326, 32mpbid 210 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) )
3428biimpar 483 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  ->  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )
3534exlimivv 1728 . . . . 5  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  ->  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )
3633, 35impbii 188 . . . 4  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
37 r19.42v 3009 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  E. x  e.  A  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
38 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  e.  { y } )
39 elsn 4030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  { y }  <-> 
i  =  y )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  =  y )
41 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  y  e.  A )
4240, 41eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  e.  A )
43 simprr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  e.  ( B  \  { y } ) )
4443eldifad 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  e.  B )
4543eldifbd 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  -.  j  e.  { y } )
46 elsn 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  { y }  <-> 
j  =  y )
4746necon3bbii 2715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  j  e.  { y }  <->  j  =/=  y
)
4845, 47sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  =/=  y )
4948necomd 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  y  =/=  j )
5040, 49eqnetrd 2747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  =/=  j )
5142, 44, 50jca31 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
5251adantll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E. x  e.  A  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  /\  y  e.  A )  /\  (
i  e.  { y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
53 sneq 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
5453eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  { x } 
<->  i  e.  { y } ) )
5553difeq2d 3608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { y } ) )
5655eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  ( B 
\  { x }
)  <->  j  e.  ( B  \  { y } ) ) )
5754, 56anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) )  <-> 
( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) ) )
5857cbvrexv 3082 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. y  e.  A  ( i  e.  { y }  /\  j  e.  ( B  \  { y } ) ) )
5958biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  ->  E. y  e.  A  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )
6052, 59r19.29a 2996 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  -> 
( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
61 simpll 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  e.  A )
62 ssnid 4045 . . . . . . . . . 10  |-  i  e. 
{ i }
6362a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  e.  { i } )
64 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  e.  B )
65 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  =/=  j )
6665necomd 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  =/=  i )
67 elsn 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { i }  <-> 
j  =  i )
6867necon3bbii 2715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  j  e.  { i }  <->  j  =/=  i
)
6966, 68sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  -.  j  e.  { i } )
7064, 69eldifd 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  e.  ( B  \  {
i } ) )
71 sneq 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  { x }  =  { i } )
7271eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
i  e.  { x } 
<->  i  e.  { i } ) )
7371difeq2d 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { i } ) )
7473eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
j  e.  ( B 
\  { x }
)  <->  j  e.  ( B  \  { i } ) ) )
7572, 74anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) )  <-> 
( i  e.  {
i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) ) )
7675rspcev 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( i  e.  {
i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )
7761, 63, 70, 76syl12anc 1224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )
7860, 77impbii 188 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  <->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
7978anbi2i 692 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  E. x  e.  A  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
8037, 79bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
81802exbii 1673 . . . 4  |-  ( E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
8218, 36, 813bitr4i 277 . . 3  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
836, 7, 823bitr4i 277 . 2  |-  ( p  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  p  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
)
8483eqriv 2450 1  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) )  =  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805    \ cdif 3458   {csn 4016   <.cop 4022   U_ciun 4315   class class class wbr 4439    _I cid 4779    X. cxp 4986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995
This theorem is referenced by:  tglnfn  24135
  Copyright terms: Public domain W3C validator