MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpdifid Structured version   Unicode version

Theorem xpdifid 5434
Description: The set of distinct couples in a Cartesian product. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpdifid  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) )  =  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem xpdifid
Dummy variables  i 
j  p  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4330 . . 3  |-  ( p  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. x  e.  A  p  e.  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) ) )
2 elxp 5016 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
32rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. x  e.  A  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
4 rexcom4 3133 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. x  e.  A  E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) ) ) )
5 rexcom4 3133 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) ) )  <->  E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
65exbii 1644 . . . . 5  |-  ( E. i E. x  e.  A  E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
73, 4, 63bitri 271 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
8 eldif 3486 . . . . . . . 8  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<->  ( <. i ,  j
>.  e.  ( A  X.  B )  /\  -.  <.
i ,  j >.  e.  _I  ) )
9 opelxp 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( i  e.  A  /\  j  e.  B ) )
10 df-br 4448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  _I  j  <->  <. i ,  j >.  e.  _I  )
11 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  j  e. 
_V
1211ideq 5154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  _I  j  <->  i  =  j )
1310, 12bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  _I  <->  i  =  j )
1413necon3bbii 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
<. i ,  j >.  e.  _I  <->  i  =/=  j
)
159, 14anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. i ,  j >.  e.  ( A  X.  B
)  /\  -.  <. i ,  j >.  e.  _I  ) 
<->  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
168, 15bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( <.
i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<->  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
1716anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  <->  ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) ) )
18172exbii 1645 . . . . 5  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
19 eldif 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  ( p  e.  ( A  X.  B
)  /\  -.  p  e.  _I  ) )
2019simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  p  e.  ( A  X.  B
) )
21 elxpi 5015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( A  X.  B )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  A  /\  j  e.  B
) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  ( i  e.  A  /\  j  e.  B
) ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  B )
)  ->  p  =  <. i ,  j >.
)
24232eximi 1636 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  B )
)  ->  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
)
2522, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
)
2625ancli 551 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >.
) )
27 19.42vv 1951 . . . . . . . 8  |-  ( E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  E. i E. j  p  =  <. i ,  j >. )
)
2826, 27sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )
)
29 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  p  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
30 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  <. i ,  j
>.  ->  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) 
<-> 
<. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  ->  (
p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  <->  <. i ,  j >.  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
3231pm5.32da 641 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
3329, 32syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  ( p  =  <. i ,  j
>.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
34332exbidv 1692 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  ( E. i E. j ( p  e.  ( ( A  X.  B ) 
\  _I  )  /\  p  =  <. i ,  j >. )  <->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) ) )
3528, 34mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  ->  E. i E. j ( p  = 
<. i ,  j >.  /\  <. i ,  j
>.  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) ) )
3630biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  ->  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )
3736exlimivv 1699 . . . . . 6  |-  ( E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
)  ->  p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  ) )
3835, 37impbii 188 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  E. i E. j
( p  =  <. i ,  j >.  /\  <. i ,  j >.  e.  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
) )
39 r19.42v 3016 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  E. x  e.  A  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  e.  { y } )
41 elsn 4041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  { y }  <-> 
i  =  y )
4240, 41sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  =  y )
43 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  y  e.  A )
4442, 43eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  e.  A )
45 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  e.  ( B  \  { y } ) )
4645eldifad 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  e.  B )
4744, 46jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( i  e.  A  /\  j  e.  B ) )
4845eldifbd 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  -.  j  e.  { y } )
49 elsn 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  { y }  <-> 
j  =  y )
5049necon3bbii 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  j  e.  { y }  <->  j  =/=  y
)
5148, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  j  =/=  y )
5251necomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  y  =/=  j )
5342, 52eqnetrd 2760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  i  =/=  j )
5447, 53jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
5554adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E. x  e.  A  ( i  e. 
{ x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  /\  y  e.  A )  /\  (
i  e.  { y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
56 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
5756eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  { x } 
<->  i  e.  { y } ) )
5856difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { y } ) )
5958eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  ( B 
\  { x }
)  <->  j  e.  ( B  \  { y } ) ) )
6057, 59anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) )  <-> 
( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) ) )
6160cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  <->  E. y  e.  A  ( i  e.  { y }  /\  j  e.  ( B  \  { y } ) ) )
6261biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  ->  E. y  e.  A  ( i  e.  {
y }  /\  j  e.  ( B  \  {
y } ) ) )
6355, 62r19.29a 3003 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  -> 
( ( i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j ) )
64 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  e.  A )
65 ssnid 4056 . . . . . . . . . . . 12  |-  i  e. 
{ i }
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  e.  { i } )
67 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  e.  B )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  i  =/=  j )
6968necomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  =/=  i )
70 elsn 4041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  { i }  <-> 
j  =  i )
7170necon3bbii 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  j  e.  { i }  <->  j  =/=  i
)
7269, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  -.  j  e.  { i } )
7367, 72eldifd 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  j  e.  ( B  \  {
i } ) )
7466, 73jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  (
i  e.  { i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) )
75 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  { x }  =  { i } )
7675eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  (
i  e.  { x } 
<->  i  e.  { i } ) )
7775difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { i } ) )
7877eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  (
j  e.  ( B 
\  { x }
)  <->  j  e.  ( B  \  { i } ) ) )
7976, 78anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
( i  e.  {
x }  /\  j  e.  ( B  \  {
x } ) )  <-> 
( i  e.  {
i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) ) )
8079rspcev 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( i  e.  {
i }  /\  j  e.  ( B  \  {
i } ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )
8164, 74, 80syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j )  ->  E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )
8263, 81impbii 188 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) )  <->  ( (
i  e.  A  /\  j  e.  B )  /\  i  =/=  j
) )
8382anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  <. i ,  j >.  /\  E. x  e.  A  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
8439, 83bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <-> 
( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
85842exbii 1645 . . . . 5  |-  ( E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) )  <->  E. i E. j ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
( i  e.  A  /\  j  e.  B
)  /\  i  =/=  j ) ) )
8618, 38, 853bitr4i 277 . . . 4  |-  ( p  e.  ( ( A  X.  B )  \  _I  )  <->  E. i E. j E. x  e.  A  ( p  =  <. i ,  j >.  /\  (
i  e.  { x }  /\  j  e.  ( B  \  { x } ) ) ) )
877, 86bitr4i 252 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  p  e.  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  p  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
)
881, 87bitri 249 . 2  |-  ( p  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( B  \  { x } ) )  <->  p  e.  (
( A  X.  B
)  \  _I  )
)
8988eqriv 2463 1  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( B  \  { x }
) )  =  ( ( A  X.  B
)  \  _I  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    \ cdif 3473   {csn 4027   <.cop 4033   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    _I cid 4790    X. cxp 4997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006
This theorem is referenced by:  tglnfn  23678
  Copyright terms: Public domain W3C validator