Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xpct Structured version   Unicode version

Theorem xpct 27205
Description: The cartesian product of two countable sets is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
xpct  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem xpct
StepHypRef Expression
1 ctex 27203 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  B  e.  _V )
3 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
4 xpdom1g 7611 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  ( om  X.  B ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  B ) )
6 omex 8056 . . . . 5  |-  om  e.  _V
76xpdom2 7609 . . . 4  |-  ( B  ~<_  om  ->  ( om  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
87adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( om  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
9 domtr 7565 . . 3  |-  ( ( ( A  X.  B
)  ~<_  ( om  X.  B )  /\  ( om  X.  B )  ~<_  ( om  X.  om )
)  ->  ( A  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
105, 8, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
11 xpomen 8389 . 2  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
12 domentr 7571 . 2  |-  ( ( ( A  X.  B
)  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  om )
1310, 11, 12sylancl 662 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   omcom 6678    ~~ cen 7510    ~<_ cdom 7511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-oi 7931  df-card 8316
This theorem is referenced by:  mpt2cti  27214
  Copyright terms: Public domain W3C validator