Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcpropd Structured version   Unicode version

Theorem xpcpropd 15801
 Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same product category. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcpropd.1 f f
xpcpropd.2 compf compf
xpcpropd.3 f f
xpcpropd.4 compf compf
xpcpropd.a
xpcpropd.b
xpcpropd.c
xpcpropd.d
Assertion
Ref Expression
xpcpropd c c

Proof of Theorem xpcpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3 c c
2 eqid 2402 . . 3
3 eqid 2402 . . 3
4 eqid 2402 . . 3
5 eqid 2402 . . 3
6 eqid 2402 . . 3 comp comp
7 eqid 2402 . . 3 comp comp
8 xpcpropd.a . . 3
9 xpcpropd.c . . 3
10 eqidd 2403 . . 3
111, 2, 3xpcbas 15771 . . . . 5 c
12 eqid 2402 . . . . 5 c c
131, 11, 4, 5, 12xpchomfval 15772 . . . 4 c
1413a1i 11 . . 3 c
15 eqidd 2403 . . 3 c c comp comp c c comp comp
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15xpcval 15770 . 2 c c comp c c comp comp
17 eqid 2402 . . 3 c c
18 eqid 2402 . . 3
19 eqid 2402 . . 3
20 eqid 2402 . . 3
21 eqid 2402 . . 3
22 eqid 2402 . . 3 comp comp
23 eqid 2402 . . 3 comp comp
24 xpcpropd.b . . 3
25 xpcpropd.d . . 3
26 xpcpropd.1 . . . . 5 f f
2726homfeqbas 15309 . . . 4
28 xpcpropd.3 . . . . 5 f f
2928homfeqbas 15309 . . . 4
3027, 29xpeq12d 4848 . . 3
31263ad2ant1 1018 . . . . . . 7 f f
32 xp1st 6814 . . . . . . . 8
33323ad2ant2 1019 . . . . . . 7
34 xp1st 6814 . . . . . . . 8
35343ad2ant3 1020 . . . . . . 7
362, 4, 20, 31, 33, 35homfeqval 15310 . . . . . 6
37283ad2ant1 1018 . . . . . . 7 f f
38 xp2nd 6815 . . . . . . . 8
39383ad2ant2 1019 . . . . . . 7
40 xp2nd 6815 . . . . . . . 8
41403ad2ant3 1020 . . . . . . 7
423, 5, 21, 37, 39, 41homfeqval 15310 . . . . . 6
4336, 42xpeq12d 4848 . . . . 5
4443mpt2eq3dva 6342 . . . 4
4513, 44syl5eq 2455 . . 3 c
4626ad4antr 730 . . . . . . . . 9 c c f f
47 xpcpropd.2 . . . . . . . . . 10 compf compf
4847ad4antr 730 . . . . . . . . 9 c c compf compf
49 simp-4r 769 . . . . . . . . . . 11 c c
50 xp1st 6814 . . . . . . . . . . 11
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 c c
52 xp1st 6814 . . . . . . . . . 10
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 c c
54 xp2nd 6815 . . . . . . . . . . 11
5549, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 c c
56 xp1st 6814 . . . . . . . . . 10
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 c c
58 simpllr 761 . . . . . . . . . 10 c c
59 xp1st 6814 . . . . . . . . . 10
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 c c
61 simpr 459 . . . . . . . . . . 11 c c c
62 1st2nd2 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15
6349, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 c c
6463fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . 13 c c c c
65 df-ov 6281 . . . . . . . . . . . . 13 c c
6664, 65syl6eqr 2461 . . . . . . . . . . . 12 c c c c
671, 11, 4, 5, 12, 51, 55xpchom 15773 . . . . . . . . . . . 12 c c c
6866, 67eqtrd 2443 . . . . . . . . . . 11 c c c
6961, 68eleqtrd 2492 . . . . . . . . . 10 c c
70 xp1st 6814 . . . . . . . . . 10
7169, 70syl 17 . . . . . . . . 9 c c
72 simplr 754 . . . . . . . . . . 11 c c c
731, 11, 4, 5, 12, 55, 58xpchom 15773 . . . . . . . . . . 11 c c c
7472, 73eleqtrd 2492 . . . . . . . . . 10 c c
75 xp1st 6814 . . . . . . . . . 10
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9 c c
772, 4, 6, 22, 46, 48, 53, 57, 60, 71, 76comfeqval 15321 . . . . . . . 8 c c comp comp
7828ad4antr 730 . . . . . . . . 9 c c f f
79 xpcpropd.4 . . . . . . . . . 10 compf compf
8079ad4antr 730 . . . . . . . . 9 c c compf compf
81 xp2nd 6815 . . . . . . . . . 10
8251, 81syl 17 . . . . . . . . 9 c c
83 xp2nd 6815 . . . . . . . . . 10
8455, 83syl 17 . . . . . . . . 9 c c
85 xp2nd 6815 . . . . . . . . . 10
8658, 85syl 17 . . . . . . . . 9 c c
87 xp2nd 6815 . . . . . . . . . 10
8869, 87syl 17 . . . . . . . . 9 c c
89 xp2nd 6815 . . . . . . . . . 10
9074, 89syl 17 . . . . . . . . 9 c c
913, 5, 7, 23, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90comfeqval 15321 . . . . . . . 8 c c comp comp
9277, 91opeq12d 4167 . . . . . . 7 c c comp comp comp comp
93923impa 1192 . . . . . 6 c c comp comp comp comp
9493mpt2eq3dva 6342 . . . . 5 c c comp comp c c comp comp
95943impa 1192 . . . 4 c c comp comp c c comp comp
9695mpt2eq3dva 6342 . . 3 c c comp comp c c comp comp
9717, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 45, 96xpcval 15770 . 2 c c comp c c comp comp
9816, 97eqtr4d 2446 1 c c
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  ctp 3976  cop 3978   cxp 4821  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  c1st 6782  c2nd 6783  cnx 14838  cbs 14841   chom 14920  compcco 14921   f chomf 15280  compfccomf 15281   c cxpc 15761 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-hom 14933  df-cco 14934  df-homf 15284  df-comf 15285  df-xpc 15765 This theorem is referenced by:  curfpropd  15826  oppchofcl  15853
 Copyright terms: Public domain W3C validator