Theorem xpcomen 5498

Description: Commutative law for equinumerosity of cross product. Proposition 4.22(d) of [Mendelson] p. 254.

Hypotheses

Ref	Expression
xpcomen.1	|- A e. _V
xpcomen.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpcomen	|- (A X. B) ~~ (B X. A)

Proof of Theorem xpcomen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcomen.1	. . 3 |- A e. _V
2		xpcomen.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	xpex 4096	. 2 |- (A X. B) e. _V
4		snex 3492	. . . . 5 |- {x} e. _V
5	4	cnvex 4425	. . . 4 |- `'{x} e. _V
6	5	uniex 3794	. . 3 |- U.`'{x} e. _V
7	6	a1i 8	. 2 |- (x e. (A X. B) -> U.`'{x} e. _V)
8		snex 3492	. . . . 5 |- {y} e. _V
9	8	cnvex 4425	. . . 4 |- `'{y} e. _V
10	9	uniex 3794	. . 3 |- U.`'{y} e. _V
11	10	a1i 8	. 2 |- (y e. (B X. A) -> U.`'{y} e. _V)
12		sneq 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = <.z, w>. -> {x} = {<.z, w>.})
13		cnveq 4135	. . . . . . . . . . . 12 |- ({x} = {<.z, w>.} -> `'{x} = `'{<.z, w>.})
14	12, 13	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.z, w>. -> `'{x} = `'{<.z, w>.})
15		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
16		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
17	15, 16	cnvsn 4373	. . . . . . . . . . 11 |- `'{<.z, w>.} = {<.w, z>.}
18	14, 17	syl6eq 1944	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, w>. -> `'{x} = {<.w, z>.})
19	18	unieqd 3188	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, w>. -> U.`'{x} = U.{<.w, z>.})
20		opex 3527	. . . . . . . . . 10 |- <.w, z>. e. _V
21	20	unisn 3193	. . . . . . . . 9 |- U.{<.w, z>.} = <.w, z>.
22	19, 21	syl6req 1945	. . . . . . . 8 |- (x = <.z, w>. -> <.w, z>. = U.`'{x})
23		sneq 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.w, z>. -> {y} = {<.w, z>.})
24		cnveq 4135	. . . . . . . . . . . 12 |- ({y} = {<.w, z>.} -> `'{y} = `'{<.w, z>.})
25	23, 24	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.w, z>. -> `'{y} = `'{<.w, z>.})
26	16, 15	cnvsn 4373	. . . . . . . . . . 11 |- `'{<.w, z>.} = {<.z, w>.}
27	25, 26	syl6eq 1944	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.w, z>. -> `'{y} = {<.z, w>.})
28	27	unieqd 3188	. . . . . . . . 9 |- (y = <.w, z>. -> U.`'{y} = U.{<.z, w>.})
29		opex 3527	. . . . . . . . . 10 |- <.z, w>. e. _V
30	29	unisn 3193	. . . . . . . . 9 |- U.{<.z, w>.} = <.z, w>.
31	28, 30	syl6req 1945	. . . . . . . 8 |- (y = <.w, z>. -> <.z, w>. = U.`'{y})
32	22, 31	eq2tri 1956	. . . . . . 7 |- ((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) <-> (y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}))
33		ancom 482	. . . . . . 7 |- ((z e. A /\ w e. B) <-> (w e. B /\ z e. A))
34	32, 33	anbi12i 540	. . . . . 6 |- (((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) /\ (z e. A /\ w e. B)) <-> ((y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}) /\ (w e. B /\ z e. A)))
35		an23 543	. . . . . 6 |- (((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> ((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) /\ (z e. A /\ w e. B)))
36		an23 543	. . . . . 6 |- (((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}) <-> ((y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}) /\ (w e. B /\ z e. A)))
37	34, 35, 36	3bitr4i 200	. . . . 5 |- (((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> ((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
38	37	2exbii 1399	. . . 4 |- (E.zE.w((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> E.zE.w((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
39		19.41vv 1686	. . . 4 |- (E.zE.w((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}))
40		19.41vv 1686	. . . 4 |- (E.zE.w((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
41	38, 39, 40	3bitr3i 198	. . 3 |- ((E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
42		elxp 4018	. . . 4 |- (x e. (A X. B) <-> E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
43	42	anbi1i 539	. . 3 |- ((x e. (A X. B) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}))
44		elxp 4018	. . . . 5 |- (y e. (B X. A) <-> E.wE.z(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
45		excom 1393	. . . . 5 |- (E.wE.z(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) <-> E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
46	44, 45	bitri 190	. . . 4 |- (y e. (B X. A) <-> E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
47	46	anbi1i 539	. . 3 |- ((y e. (B X. A) /\ x = U.`'{y}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
48	41, 43, 47	3bitr4i 200	. 2 |- ((x e. (A X. B) /\ y = U.`'{x}) <-> (y e. (B X. A) /\ x = U.`'{y}))
49	3, 7, 11, 48	en2 5461	1 |- (A X. B) ~~ (B X. A)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  `'ccnv 3985   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  xpcomeng 5499  xpdom1 5502  xpen 5582  xpfi 5632  cdaassen 6080  infxp 8841  iunctb 8844  infmap2 8850  cptarc 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427

Copyright terms: Public domain