MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpchom2 Structured version   Unicode version

Theorem xpchom2 15100
Description: Value of the set of morphisms in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcco2.t  |-  T  =  ( C  X.c  D )
xpcco2.x  |-  X  =  ( Base `  C
)
xpcco2.y  |-  Y  =  ( Base `  D
)
xpcco2.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
xpcco2.j  |-  J  =  ( Hom  `  D
)
xpcco2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
xpcco2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Y )
xpcco2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
xpcco2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  Y )
xpchom2.k  |-  K  =  ( Hom  `  T
)
Assertion
Ref Expression
xpchom2  |-  ( ph  ->  ( <. M ,  N >. K <. P ,  Q >. )  =  ( ( M H P )  X.  ( N J Q ) ) )

Proof of Theorem xpchom2
StepHypRef Expression
1 xpcco2.t . . 3  |-  T  =  ( C  X.c  D )
2 xpcco2.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  C
)
3 xpcco2.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  D
)
41, 2, 3xpcbas 15092 . . 3  |-  ( X  X.  Y )  =  ( Base `  T
)
5 xpcco2.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
6 xpcco2.j . . 3  |-  J  =  ( Hom  `  D
)
7 xpchom2.k . . 3  |-  K  =  ( Hom  `  T
)
8 xpcco2.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
9 xpcco2.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Y )
10 opelxpi 4971 . . . 4  |-  ( ( M  e.  X  /\  N  e.  Y )  -> 
<. M ,  N >.  e.  ( X  X.  Y
) )
118, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. M ,  N >.  e.  ( X  X.  Y
) )
12 xpcco2.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
13 xpcco2.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  Y )
14 opelxpi 4971 . . . 4  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  Y )  -> 
<. P ,  Q >.  e.  ( X  X.  Y
) )
1512, 13, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. P ,  Q >.  e.  ( X  X.  Y
) )
161, 4, 5, 6, 7, 11, 15xpchom 15094 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. M ,  N >. K <. P ,  Q >. )  =  ( ( ( 1st `  <. M ,  N >. ) H ( 1st `  <. P ,  Q >. )
)  X.  ( ( 2nd `  <. M ,  N >. ) J ( 2nd `  <. P ,  Q >. ) ) ) )
17 op1stg 6691 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  X  /\  N  e.  Y )  ->  ( 1st `  <. M ,  N >. )  =  M )
188, 9, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. M ,  N >. )  =  M )
19 op1stg 6691 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  Y )  ->  ( 1st `  <. P ,  Q >. )  =  P )
2012, 13, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. P ,  Q >. )  =  P )
2118, 20oveq12d 6210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  <. M ,  N >. ) H ( 1st `  <. P ,  Q >. )
)  =  ( M H P ) )
22 op2ndg 6692 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  X  /\  N  e.  Y )  ->  ( 2nd `  <. M ,  N >. )  =  N )
238, 9, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. M ,  N >. )  =  N )
24 op2ndg 6692 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  Y )  ->  ( 2nd `  <. P ,  Q >. )  =  Q )
2512, 13, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. P ,  Q >. )  =  Q )
2623, 25oveq12d 6210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd `  <. M ,  N >. ) J ( 2nd `  <. P ,  Q >. )
)  =  ( N J Q ) )
2721, 26xpeq12d 4965 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st `  <. M ,  N >. ) H ( 1st `  <. P ,  Q >. ) )  X.  (
( 2nd `  <. M ,  N >. ) J ( 2nd `  <. P ,  Q >. )
) )  =  ( ( M H P )  X.  ( N J Q ) ) )
2816, 27eqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  ( <. M ,  N >. K <. P ,  Q >. )  =  ( ( M H P )  X.  ( N J Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3983    X. cxp 4938   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1stc1st 6677   2ndc2nd 6678   Basecbs 14278   Hom chom 14353    X.c cxpc 15082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-hom 14366  df-cco 14367  df-xpc 15086
This theorem is referenced by:  xpcco2  15101  prfcl  15117  evlfcl  15136  curf1cl  15142  curf2cl  15145  curfcl  15146  uncf2  15151  uncfcurf  15153  diag12  15158  diag2  15159  curf2ndf  15161  yonedalem22  15192  yonedalem3b  15193
  Copyright terms: Public domain W3C validator