MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpchom2 Structured version   Unicode version

Theorem xpchom2 15329
Description: Value of the set of morphisms in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcco2.t  |-  T  =  ( C  X.c  D )
xpcco2.x  |-  X  =  ( Base `  C
)
xpcco2.y  |-  Y  =  ( Base `  D
)
xpcco2.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
xpcco2.j  |-  J  =  ( Hom  `  D
)
xpcco2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
xpcco2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Y )
xpcco2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
xpcco2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  Y )
xpchom2.k  |-  K  =  ( Hom  `  T
)
Assertion
Ref Expression
xpchom2  |-  ( ph  ->  ( <. M ,  N >. K <. P ,  Q >. )  =  ( ( M H P )  X.  ( N J Q ) ) )

Proof of Theorem xpchom2
StepHypRef Expression
1 xpcco2.t . . 3  |-  T  =  ( C  X.c  D )
2 xpcco2.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  C
)
3 xpcco2.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  D
)
41, 2, 3xpcbas 15321 . . 3  |-  ( X  X.  Y )  =  ( Base `  T
)
5 xpcco2.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
6 xpcco2.j . . 3  |-  J  =  ( Hom  `  D
)
7 xpchom2.k . . 3  |-  K  =  ( Hom  `  T
)
8 xpcco2.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
9 xpcco2.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Y )
10 opelxpi 5021 . . . 4  |-  ( ( M  e.  X  /\  N  e.  Y )  -> 
<. M ,  N >.  e.  ( X  X.  Y
) )
118, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. M ,  N >.  e.  ( X  X.  Y
) )
12 xpcco2.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
13 xpcco2.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  Y )
14 opelxpi 5021 . . . 4  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  Y )  -> 
<. P ,  Q >.  e.  ( X  X.  Y
) )
1512, 13, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. P ,  Q >.  e.  ( X  X.  Y
) )
161, 4, 5, 6, 7, 11, 15xpchom 15323 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. M ,  N >. K <. P ,  Q >. )  =  ( ( ( 1st `  <. M ,  N >. ) H ( 1st `  <. P ,  Q >. )
)  X.  ( ( 2nd `  <. M ,  N >. ) J ( 2nd `  <. P ,  Q >. ) ) ) )
17 op1stg 6797 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  X  /\  N  e.  Y )  ->  ( 1st `  <. M ,  N >. )  =  M )
188, 9, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. M ,  N >. )  =  M )
19 op1stg 6797 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  Y )  ->  ( 1st `  <. P ,  Q >. )  =  P )
2012, 13, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. P ,  Q >. )  =  P )
2118, 20oveq12d 6299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  <. M ,  N >. ) H ( 1st `  <. P ,  Q >. )
)  =  ( M H P ) )
22 op2ndg 6798 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  X  /\  N  e.  Y )  ->  ( 2nd `  <. M ,  N >. )  =  N )
238, 9, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. M ,  N >. )  =  N )
24 op2ndg 6798 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  Y )  ->  ( 2nd `  <. P ,  Q >. )  =  Q )
2512, 13, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. P ,  Q >. )  =  Q )
2623, 25oveq12d 6299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd `  <. M ,  N >. ) J ( 2nd `  <. P ,  Q >. )
)  =  ( N J Q ) )
2721, 26xpeq12d 5014 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st `  <. M ,  N >. ) H ( 1st `  <. P ,  Q >. ) )  X.  (
( 2nd `  <. M ,  N >. ) J ( 2nd `  <. P ,  Q >. )
) )  =  ( ( M H P )  X.  ( N J Q ) ) )
2816, 27eqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  ( <. M ,  N >. K <. P ,  Q >. )  =  ( ( M H P )  X.  ( N J Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   <.cop 4020    X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   Basecbs 14509   Hom chom 14585    X.c cxpc 15311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-hom 14598  df-cco 14599  df-xpc 15315
This theorem is referenced by:  xpcco2  15330  prfcl  15346  evlfcl  15365  curf1cl  15371  curf2cl  15374  curfcl  15375  uncf2  15380  uncfcurf  15382  diag12  15387  diag2  15388  curf2ndf  15390  yonedalem22  15421  yonedalem3b  15422
  Copyright terms: Public domain W3C validator