Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpccofval Structured version   Unicode version

Theorem xpccofval 15302
 Description: Value of composition in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpccofval.t c
xpccofval.b
xpccofval.k
xpccofval.o1 comp
xpccofval.o2 comp
xpccofval.o comp
Assertion
Ref Expression
xpccofval
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,)

Proof of Theorem xpccofval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpccofval.t . . . 4 c
2 eqid 2467 . . . 4
3 eqid 2467 . . . 4
4 eqid 2467 . . . 4
5 eqid 2467 . . . 4
6 xpccofval.o1 . . . 4 comp
7 xpccofval.o2 . . . 4 comp
8 simpl 457 . . . 4
9 simpr 461 . . . 4
10 xpccofval.b . . . . . 6
111, 2, 3xpcbas 15298 . . . . . 6
1210, 11eqtr4i 2499 . . . . 5
1312a1i 11 . . . 4
14 xpccofval.k . . . . . 6
151, 10, 4, 5, 14xpchomfval 15299 . . . . 5
1615a1i 11 . . . 4
17 eqidd 2468 . . . 4
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 16, 17xpcval 15297 . . 3 comp
19 catstr 15177 . . 3 comp Struct ;
20 ccoid 14666 . . 3 comp Slot comp
21 snsstp3 4180 . . 3 comp comp
22 fvex 5874 . . . . . . 7
2310, 22eqeltri 2551 . . . . . 6
2423, 23xpex 6711 . . . . 5
2524, 23mpt2ex 6857 . . . 4
2625a1i 11 . . 3
27 xpccofval.o . . 3 comp
2818, 19, 20, 21, 26, 27strfv3 14518 . 2
29 mpt20 6349 . . . 4
3029eqcomi 2480 . . 3
31 fnxpc 15296 . . . . . . . 8 c
32 fndm 5678 . . . . . . . 8 c c
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 c
3433ndmov 6441 . . . . . 6 c
351, 34syl5eq 2520 . . . . 5
3635fveq2d 5868 . . . 4 comp comp
3720str0 14521 . . . 4 comp
3836, 27, 373eqtr4g 2533 . . 3
3935fveq2d 5868 . . . . . . 7
40 base0 14522 . . . . . . 7
4139, 10, 403eqtr4g 2533 . . . . . 6
4241xpeq2d 5023 . . . . 5
43 xp0 5423 . . . . 5
4442, 43syl6eq 2524 . . . 4
45 eqidd 2468 . . . 4
4644, 41, 45mpt2eq123dv 6341 . . 3
4730, 38, 463eqtr4a 2534 . 2
4828, 47pm2.61i 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113  c0 3785  ctp 4031  cop 4033   cxp 4997   cdm 4999   wfn 5581  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmpt2 6284  c1st 6779  c2nd 6780  c1 9489  c5 10584  ;cdc 10972  cnx 14480  cbs 14483   chom 14559  compcco 14560   c cxpc 15288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-hom 14572  df-cco 14573  df-xpc 15292 This theorem is referenced by:  xpcco  15303
 Copyright terms: Public domain W3C validator