Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcco Structured version   Unicode version

Theorem xpcco 15299
 Description: Value of composition in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpccofval.t c
xpccofval.b
xpccofval.k
xpccofval.o1 comp
xpccofval.o2 comp
xpccofval.o comp
xpcco.x
xpcco.y
xpcco.z
xpcco.f
xpcco.g
Assertion
Ref Expression
xpcco

Proof of Theorem xpcco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpccofval.t . . 3 c
2 xpccofval.b . . 3
3 xpccofval.k . . 3
4 xpccofval.o1 . . 3 comp
5 xpccofval.o2 . . 3 comp
6 xpccofval.o . . 3 comp
71, 2, 3, 4, 5, 6xpccofval 15298 . 2
8 xpcco.x . . . 4
9 xpcco.y . . . 4
10 opelxpi 5023 . . . 4
118, 9, 10syl2anc 661 . . 3
12 xpcco.z . . . 4
14 ovex 6300 . . . . 5
15 fvex 5867 . . . . 5
1614, 15mpt2ex 6850 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 xpcco.g . . . . . 6
1918adantr 465 . . . . 5
20 simprl 755 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5861 . . . . . . 7
22 op2ndg 6787 . . . . . . . . 9
238, 9, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8
2423adantr 465 . . . . . . 7
2521, 24eqtrd 2501 . . . . . 6
26 simprr 756 . . . . . 6
2725, 26oveq12d 6293 . . . . 5
2819, 27eleqtrrd 2551 . . . 4
29 xpcco.f . . . . . . 7
3029adantr 465 . . . . . 6
3120fveq2d 5861 . . . . . . 7
32 df-ov 6278 . . . . . . 7
3331, 32syl6eqr 2519 . . . . . 6
3430, 33eleqtrrd 2551 . . . . 5
3534adantr 465 . . . 4
36 opex 4704 . . . . 5
3736a1i 11 . . . 4
3820fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11
39 op1stg 6786 . . . . . . . . . . . . 13
408, 9, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11
4238, 41eqtrd 2501 . . . . . . . . . 10
4342adantr 465 . . . . . . . . 9
4443fveq2d 5861 . . . . . . . 8
4525adantr 465 . . . . . . . . 9
4645fveq2d 5861 . . . . . . . 8
4744, 46opeq12d 4214 . . . . . . 7
48 simplrr 760 . . . . . . . 8
4948fveq2d 5861 . . . . . . 7
5047, 49oveq12d 6293 . . . . . 6
51 simprl 755 . . . . . . 7
5251fveq2d 5861 . . . . . 6
53 simprr 756 . . . . . . 7
5453fveq2d 5861 . . . . . 6
5550, 52, 54oveq123d 6296 . . . . 5
5643fveq2d 5861 . . . . . . . 8
5745fveq2d 5861 . . . . . . . 8
5856, 57opeq12d 4214 . . . . . . 7
5948fveq2d 5861 . . . . . . 7
6058, 59oveq12d 6293 . . . . . 6
6151fveq2d 5861 . . . . . 6
6253fveq2d 5861 . . . . . 6
6360, 61, 62oveq123d 6296 . . . . 5
6455, 63opeq12d 4214 . . . 4
6528, 35, 37, 64ovmpt2dv2 6411 . . 3
6611, 13, 17, 65ovmpt2dv 6410 . 2
677, 66mpi 17 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  cvv 3106  cop 4026   cxp 4990  cfv 5579  (class class class)co 6275   cmpt2 6277  c1st 6772  c2nd 6773  cbs 14479   chom 14555  compcco 14556   c cxpc 15284 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-hom 14568  df-cco 14569  df-xpc 15288 This theorem is referenced by:  xpcco1st  15300  xpcco2nd  15301  xpcco2  15303  xpccatid  15304
 Copyright terms: Public domain W3C validator