Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpccatid Structured version   Unicode version

Theorem xpccatid 15583
 Description: The product of two categories is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpccat.t c
xpccat.c
xpccat.d
xpccat.x
xpccat.y
xpccat.i
xpccat.j
Assertion
Ref Expression
xpccatid
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem xpccatid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpccat.t . . . . 5 c
2 xpccat.x . . . . 5
3 xpccat.y . . . . 5
41, 2, 3xpcbas 15573 . . . 4
54a1i 11 . . 3
6 eqidd 2458 . . 3
7 eqidd 2458 . . 3 comp comp
8 ovex 6324 . . . . 5 c
91, 8eqeltri 2541 . . . 4
109a1i 11 . . 3
11 biid 236 . . 3
12 eqid 2457 . . . . . 6
13 xpccat.i . . . . . 6
14 xpccat.c . . . . . . 7
1514adantr 465 . . . . . 6
16 xp1st 6829 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
182, 12, 13, 15, 17catidcl 15098 . . . . 5
19 eqid 2457 . . . . . 6
20 xpccat.j . . . . . 6
21 xpccat.d . . . . . . 7
2221adantr 465 . . . . . 6
23 xp2nd 6830 . . . . . . 7
2423adantl 466 . . . . . 6
253, 19, 20, 22, 24catidcl 15098 . . . . 5
26 opelxpi 5040 . . . . 5
2718, 25, 26syl2anc 661 . . . 4
28 eqid 2457 . . . . 5
29 simpr 461 . . . . 5
301, 4, 12, 19, 28, 29, 29xpchom 15575 . . . 4
3127, 30eleqtrrd 2548 . . 3
32 fvex 5882 . . . . . . . 8
33 fvex 5882 . . . . . . . 8
3432, 33op1st 6807 . . . . . . 7
3534oveq1i 6306 . . . . . 6 comp comp
3614adantr 465 . . . . . . 7
37 simpr1l 1053 . . . . . . . 8
38 xp1st 6829 . . . . . . . 8
3937, 38syl 16 . . . . . . 7
40 eqid 2457 . . . . . . 7 comp comp
41 simpr1r 1054 . . . . . . . 8
4241, 16syl 16 . . . . . . 7
43 simpr31 1086 . . . . . . . . 9
441, 4, 12, 19, 28, 37, 41xpchom 15575 . . . . . . . . 9
4543, 44eleqtrd 2547 . . . . . . . 8
46 xp1st 6829 . . . . . . . 8
4745, 46syl 16 . . . . . . 7
482, 12, 13, 36, 39, 40, 42, 47catlid 15099 . . . . . 6 comp
4935, 48syl5eq 2510 . . . . 5 comp
5032, 33op2nd 6808 . . . . . . 7
5150oveq1i 6306 . . . . . 6 comp comp
5221adantr 465 . . . . . . 7
53 xp2nd 6830 . . . . . . . 8
5437, 53syl 16 . . . . . . 7
55 eqid 2457 . . . . . . 7 comp comp
5641, 23syl 16 . . . . . . 7
57 xp2nd 6830 . . . . . . . 8
5845, 57syl 16 . . . . . . 7
593, 19, 20, 52, 54, 55, 56, 58catlid 15099 . . . . . 6 comp
6051, 59syl5eq 2510 . . . . 5 comp
6149, 60opeq12d 4227 . . . 4 comp comp
62 eqid 2457 . . . . 5 comp comp
6341, 31syldan 470 . . . . 5
641, 4, 28, 40, 55, 62, 37, 41, 41, 43, 63xpcco 15578 . . . 4 comp comp comp
65 1st2nd2 6836 . . . . 5
6645, 65syl 16 . . . 4
6761, 64, 663eqtr4d 2508 . . 3 comp
6834oveq2i 6307 . . . . . 6 comp comp
69 simpr2l 1055 . . . . . . . 8
70 xp1st 6829 . . . . . . . 8
7169, 70syl 16 . . . . . . 7
72 simpr32 1087 . . . . . . . . 9
731, 4, 12, 19, 28, 41, 69xpchom 15575 . . . . . . . . 9
7472, 73eleqtrd 2547 . . . . . . . 8
75 xp1st 6829 . . . . . . . 8
7674, 75syl 16 . . . . . . 7
772, 12, 13, 36, 42, 40, 71, 76catrid 15100 . . . . . 6 comp
7868, 77syl5eq 2510 . . . . 5 comp
7950oveq2i 6307 . . . . . 6 comp comp
80 xp2nd 6830 . . . . . . . 8
8169, 80syl 16 . . . . . . 7
82 xp2nd 6830 . . . . . . . 8
8374, 82syl 16 . . . . . . 7
843, 19, 20, 52, 56, 55, 81, 83catrid 15100 . . . . . 6 comp
8579, 84syl5eq 2510 . . . . 5 comp
8678, 85opeq12d 4227 . . . 4 comp comp
871, 4, 28, 40, 55, 62, 41, 41, 69, 63, 72xpcco 15578 . . . 4 comp comp comp
88 1st2nd2 6836 . . . . 5
8974, 88syl 16 . . . 4
9086, 87, 893eqtr4d 2508 . . 3 comp
912, 12, 40, 36, 39, 42, 71, 47, 76catcocl 15101 . . . . 5 comp
923, 19, 55, 52, 54, 56, 81, 58, 83catcocl 15101 . . . . 5 comp
93 opelxpi 5040 . . . . 5 comp comp comp comp
9491, 92, 93syl2anc 661 . . . 4 comp comp
951, 4, 28, 40, 55, 62, 37, 41, 69, 43, 72xpcco 15578 . . . 4 comp comp comp
961, 4, 12, 19, 28, 37, 69xpchom 15575 . . . 4
9794, 95, 963eltr4d 2560 . . 3 comp
98 simpr2r 1056 . . . . . . . 8
99 xp1st 6829 . . . . . . . 8
10098, 99syl 16 . . . . . . 7
101 simpr33 1088 . . . . . . . . 9
1021, 4, 12, 19, 28, 69, 98xpchom 15575 . . . . . . . . 9
103101, 102eleqtrd 2547 . . . . . . . 8
104 xp1st 6829 . . . . . . . 8
105103, 104syl 16 . . . . . . 7
1062, 12, 40, 36, 39, 42, 71, 47, 76, 100, 105catass 15102 . . . . . 6 comp comp comp comp
1071, 4, 28, 40, 55, 62, 41, 69, 98, 72, 101xpcco 15578 . . . . . . . . 9 comp comp comp
108107fveq2d 5876 . . . . . . . 8 comp comp comp
109 ovex 6324 . . . . . . . . 9 comp
110 ovex 6324 . . . . . . . . 9 comp
111109, 110op1st 6807 . . . . . . . 8 comp comp comp
112108, 111syl6eq 2514 . . . . . . 7 comp comp
113112oveq1d 6311 . . . . . 6 comp comp comp comp
11495fveq2d 5876 . . . . . . . 8 comp comp comp
115 ovex 6324 . . . . . . . . 9 comp
116 ovex 6324 . . . . . . . . 9 comp
117115, 116op1st 6807 . . . . . . . 8 comp comp comp
118114, 117syl6eq 2514 . . . . . . 7 comp comp
119118oveq2d 6312 . . . . . 6 comp comp comp comp
120106, 113, 1193eqtr4d 2508 . . . . 5 comp comp comp comp
121 xp2nd 6830 . . . . . . . 8
12298, 121syl 16 . . . . . . 7
123 xp2nd 6830 . . . . . . . 8
124103, 123syl 16 . . . . . . 7
1253, 19, 55, 52, 54, 56, 81, 58, 83, 122, 124catass 15102 . . . . . 6 comp comp comp comp
126107fveq2d 5876 . . . . . . . 8 comp comp comp
127109, 110op2nd 6808 . . . . . . . 8 comp comp comp
128126, 127syl6eq 2514 . . . . . . 7 comp comp
129128oveq1d 6311 . . . . . 6 comp comp comp comp
13095fveq2d 5876 . . . . . . . 8 comp comp comp
131115, 116op2nd 6808 . . . . . . . 8 comp comp comp
132130, 131syl6eq 2514 . . . . . . 7 comp comp
133132oveq2d 6312 . . . . . 6 comp comp comp comp
134125, 129, 1333eqtr4d 2508 . . . . 5 comp comp comp comp
135120, 134opeq12d 4227 . . . 4 comp comp comp comp comp comp comp comp
1362, 12, 40, 36, 42, 71, 100, 76, 105catcocl 15101 . . . . . . 7 comp
1373, 19, 55, 52, 56, 81, 122, 83, 124catcocl 15101 . . . . . . 7 comp
138 opelxpi 5040 . . . . . . 7 comp comp comp comp
139136, 137, 138syl2anc 661 . . . . . 6 comp comp
1401, 4, 12, 19, 28, 41, 98xpchom 15575 . . . . . 6
141139, 107, 1403eltr4d 2560 . . . . 5 comp
1421, 4, 28, 40, 55, 62, 37, 41, 98, 43, 141xpcco 15578 . . . 4 comp comp comp comp comp comp
1431, 4, 28, 40, 55, 62, 37, 69, 98, 97, 101xpcco 15578 . . . 4 comp comp comp comp comp comp
144135, 142, 1433eqtr4d 2508 . . 3 comp comp comp comp
1455, 6, 7, 10, 11, 31, 67, 90, 97, 144iscatd2 15097 . 2
146 vex 3112 . . . . . . . 8
147 vex 3112 . . . . . . . 8
148146, 147op1std 6809 . . . . . . 7
149148fveq2d 5876 . . . . . 6
150146, 147op2ndd 6810 . . . . . . 7
151150fveq2d 5876 . . . . . 6
152149, 151opeq12d 4227 . . . . 5
153152mpt2mpt 6393 . . . 4
154153eqeq2i 2475 . . 3
155154anbi2i 694 . 2
156145, 155sylib 196 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109  cop 4038   cmpt 4515   cxp 5006  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  c1st 6797  c2nd 6798  cbs 14643   chom 14722  compcco 14723  ccat 15080  ccid 15081   c cxpc 15563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-hom 14735  df-cco 14736  df-cat 15084  df-cid 15085  df-xpc 15567 This theorem is referenced by:  xpcid  15584  xpccat  15585
 Copyright terms: Public domain W3C validator