MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp2nd Structured version   Unicode version

Theorem xp2nd 6804
Description: Location of the second element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp2nd  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 2nd `  A )  e.  C )

Proof of Theorem xp2nd
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5005 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. b E. c ( A  = 
<. b ,  c >.  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) ) )
2 vex 3109 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3 vex 3109 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
42, 3op2ndd 6784 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( 2nd `  A
)  =  c )
54eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( ( 2nd `  A )  e.  C  <->  c  e.  C ) )
65biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  c  e.  C )  ->  ( 2nd `  A )  e.  C )
76adantrl 713 . . 3  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 2nd `  A )  e.  C
)
87exlimivv 1728 . 2  |-  ( E. b E. c ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 2nd `  A )  e.  C
)
91, 8sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 2nd `  A )  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   <.cop 4022    X. cxp 4986   ` cfv 5570   2ndc2nd 6772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-2nd 6774
This theorem is referenced by:  offval22  6852  disjen  7667  xpf1o  7672  xpmapenlem  7677  mapunen  7679  r0weon  8381  infxpenlem  8382  fseqdom  8398  axcc2lem  8807  iunfo  8905  iundom2g  8906  enqbreq2  9287  nqereu  9296  addpqf  9311  mulpqf  9313  adderpqlem  9321  mulerpqlem  9322  addassnq  9325  mulassnq  9326  distrnq  9328  mulidnq  9330  recmulnq  9331  ltsonq  9336  lterpq  9337  ltanq  9338  ltmnq  9339  ltexnq  9342  archnq  9347  elreal2  9498  cnref1o  11216  fsumcom2  13674  fprodcom2  13873  ruclem6  14055  ruclem8  14057  ruclem9  14058  ruclem10  14059  ruclem12  14061  eucalgval  14298  eucalginv  14300  eucalglt  14301  eucalgcvga  14302  eucalg  14303  xpsff1o  15060  comfffval2  15192  comfeq  15197  idfucl  15372  funcpropd  15391  fucpropd  15468  xpccatid  15659  1stfcl  15668  2ndfcl  15669  xpcpropd  15679  hofcl  15730  hofpropd  15738  yonedalem3  15751  lsmhash  16925  gsum2dlem2  17197  gsum2dOLD  17199  dprd2da  17289  evlslem4OLD  18371  evlslem4  18372  mdetunilem9  19292  tx1cn  20279  txdis  20302  txlly  20306  txnlly  20307  txhaus  20317  txkgen  20322  txcon  20359  txhmeo  20473  ptuncnv  20477  ptunhmeo  20478  xkohmeo  20485  utop2nei  20922  utop3cls  20923  imasdsf1olem  21045  cnheiborlem  21623  caubl  21915  caublcls  21916  bcthlem2  21933  bcthlem4  21935  bcthlem5  21936  ovolficcss  22050  ovoliunlem1  22082  ovoliunlem2  22083  ovolicc2lem1  22097  ovolicc2lem2  22098  ovolicc2lem3  22099  ovolicc2lem4  22100  ovolicc2lem5  22101  dyadmbl  22178  fsumvma  23689  disjxpin  27661  gsummpt2d  28009  fimaproj  28074  cnre2csqima  28131  tpr2rico  28132  esum2dlem  28324  esumiun  28326  1stmbfm  28471  dya2iocnrect  28492  sibfof  28549  mvrsfpw  29133  msubff  29157  msubco  29158  msubvrs  29187  finixpnum  30281  heicant  30292  mblfinlem1  30294  mblfinlem2  30295  ftc2nc  30342  heiborlem8  30557  rmxypairf1o  31089  frmy  31092  dvnprodlem1  31985  dvnprodlem2  31986  etransclem44  32303  etransclem45  32304  etransclem47  32306  dvhfvadd  37234  dvhvaddcl  37238  dvhvaddcomN  37239  dvhvaddass  37240  dvhvscacl  37246  dvhgrp  37250  dvhlveclem  37251  dibelval2nd  37295  dicelval2nd  37332
  Copyright terms: Public domain W3C validator