MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp2nd Structured version   Unicode version

Theorem xp2nd 6606
Description: Location of the second element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp2nd  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 2nd `  A )  e.  C )

Proof of Theorem xp2nd
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4853 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. b E. c ( A  = 
<. b ,  c >.  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) ) )
2 vex 2973 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3 vex 2973 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
42, 3op2ndd 6587 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( 2nd `  A
)  =  c )
54eleq1d 2507 . . . . 5  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( ( 2nd `  A )  e.  C  <->  c  e.  C ) )
65biimpar 482 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  c  e.  C )  ->  ( 2nd `  A )  e.  C )
76adantrl 710 . . 3  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 2nd `  A )  e.  C
)
87exlimivv 1694 . 2  |-  ( E. b E. c ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 2nd `  A )  e.  C
)
91, 8sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 2nd `  A )  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   <.cop 3880    X. cxp 4834   ` cfv 5415   2ndc2nd 6575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-2nd 6577
This theorem is referenced by:  offval22  6651  disjen  7464  xpf1o  7469  xpmapenlem  7474  mapunen  7476  r0weon  8175  infxpenlem  8176  fseqdom  8192  axcc2lem  8601  iunfo  8699  iundom2g  8700  enqbreq2  9085  nqereu  9094  addpqf  9109  mulpqf  9111  adderpqlem  9119  mulerpqlem  9120  addassnq  9123  mulassnq  9124  distrnq  9126  mulidnq  9128  recmulnq  9129  ltsonq  9134  lterpq  9135  ltanq  9136  ltmnq  9137  ltexnq  9140  archnq  9145  elreal2  9295  cnref1o  10982  fsumcom2  13237  ruclem6  13513  ruclem8  13515  ruclem9  13516  ruclem10  13517  ruclem12  13519  eucalgval  13753  eucalginv  13755  eucalglt  13756  eucalgcvga  13757  eucalg  13758  xpsff1o  14502  comfffval2  14636  comfeq  14641  idfucl  14787  funcpropd  14806  fucpropd  14883  xpccatid  14994  1stfcl  15003  2ndfcl  15004  xpcpropd  15014  hofcl  15065  hofpropd  15073  yonedalem3  15086  lsmhash  16195  gsum2dlem2  16452  gsum2dOLD  16454  dprd2da  16531  evlslem4OLD  17566  evlslem4  17567  mdetunilem9  18385  tx1cn  19141  txdis  19164  txlly  19168  txnlly  19169  txhaus  19179  txkgen  19184  txcon  19221  txhmeo  19335  ptuncnv  19339  ptunhmeo  19340  xkohmeo  19347  utop2nei  19784  utop3cls  19785  imasdsf1olem  19907  cnheiborlem  20485  caubl  20777  caublcls  20778  bcthlem2  20795  bcthlem4  20797  bcthlem5  20798  ovolficcss  20912  ovoliunlem1  20944  ovoliunlem2  20945  ovolicc2lem1  20959  ovolicc2lem2  20960  ovolicc2lem3  20961  ovolicc2lem4  20962  ovolicc2lem5  20963  dyadmbl  21039  fsumvma  22511  disjxpin  25865  cnre2csqima  26277  tpr2rico  26278  1stmbfm  26611  dya2iocnrect  26632  sibfof  26656  fprodcom2  27424  finixpnum  28339  heicant  28351  mblfinlem1  28353  mblfinlem2  28354  ftc2nc  28401  heiborlem8  28642  rmxypairf1o  29177  frmy  29180  dvhfvadd  34458  dvhvaddcl  34462  dvhvaddcomN  34463  dvhvaddass  34464  dvhvscacl  34470  dvhgrp  34474  dvhlveclem  34475  dibelval2nd  34519  dicelval2nd  34556
  Copyright terms: Public domain W3C validator